Urnenmodell in der Stochastik – Das sind die wichtigsten Formeln

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Das Urnenmodell in der Stochastik wird häufig bei Zufallsversuchen benutzt. Dabei unterscheiden die Formeln zwischen Reihenfolge und Zurücklegen.

Was ist ein Urnenmodell in der Stochastik überhaupt?

Weniger abstrakt kannst du dir eine Eisdiele mit mehreren Eissorten vorstellen, die zusammen in den Eisbecher gepackt werden. Das Urnenmodell gibt dir zurück, wie viele verschiedene Kombinationen du auswählen kannst.

Um das Ganze allgemeiner zu halten, stellst du dir vor, dass du aus einem Gefäß farbige Kugeln oder Kugeln mit Nummern ziehst (wie beim Lotto). Jede Ziehung ist ein Ereignis. Wenn du mehrfach ziehst, entsteht ein Tupel, das die Ergebnisse jeder Ziehung als Folge zusammenfasst (rot, blau).

Beim Urnenmodell ist jedes Ereignis erst einmal gleich wahrscheinlich, weil unwillkürlich eine bestimmte Kugel gezogen wird und alle Kugeln die gleiche Größe haben, gleich schwer sind und so weiter.

Das sind die wichtigsten Urnenmodelle für Zufallsversuche

Die verschiedenen Urnenmodelle in der Stochastik unterscheiden sich darin, dass bei mehreren Ziehungen die Reihenfolge beachtet wird oder nicht (mR/oR) und dass die Kugeln nach dem Ziehen zurückgelegt werden oder nicht (mZ/oZ). Daraus ergeben sich vier Variationen:

mR – mZ	oR – mZ
mR – oZ	oR – oZ

Gesamtzahl der Ereignisse berechnen

Allgemein sprichst du von n Elementen und k Ziehungen. Die Wahrscheinlichkeiten werden über Potenzen, Fakultäten und Binomialkoeffizienten berechnet.

Die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel zu ziehen, kannst du nach der Laplace-Regel aufstellen. Diese besagt, dass die Wahrscheinlichkeit gleich 1 geteilt durch Anzahl der möglichen Kombinationen ist.

Die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses e1 kannst du als Bruch, als Dezimalzahl oder als Prozentzahl darstellen:

Urnenmodell mit Reihenfolge und mit Zurücklegen

Wenn die Reihenfolge wichtig ist und die Kugeln danach wieder zurückgelegt werden, hast du mit jedem Zug die Möglichkeit, jede Kugel zu ziehen. Daraus ergibt sich für n = 4 und k = 2:

Folgende ^6 Zahlenpaare kannst du damit ziehen:

(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4)
(2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4)
(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4)
(3, 1); (3, 2); (3, 3); (3, 4)

Ein Beispiel wäre das Zahlenschloss an einem Aktenkoffer.

Urnenmodell mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Bei diesem Urnenmodell ist die Reihenfolge wichtig, aber du kannst pro Ziehung eine Kugel nicht mehr ziehen. Für n = 4 und k = 2 ergibt sich:

(1, 2); (1, 3); (1, 4)
(2, 1); (2, 3); (2, 4)
(3, 1); (3, 2); (3, 4)
(4, 1); (4, 2); (4, 3)

Ein Beispiel hier ist die Ziehung der Gewinner eines Preisausschreibens.

Urnenmodell ohne Reihenfolge und mit Zurücklegen

Beim Urnenmodell ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen, kannst du nach jeder Kugel, einen Gewinner wieder zurücklegen. Das heißt, es kann auch zweimal eine Kugel gezogen werden, aber es ist egal, ob (1, 2) oder (2, 1) gezogen wird. Hierfür benutzt du den Binomialkoeffizienten (n über k), der mit vielen Taschenrechnern berechnet werden kann (5 nCr 3 = 10).

(1, 1); (1, 2); (1, 3); (1, 4)
(2, 2); (2, 3); (2, 4)
(3, 3); (3, 4)
(4, 4)

Ein bekanntes Beispiel hierfür ist das Würfelspiel, bei dem ein bestimmtes Ergebnis erzielt werden soll.

Urnenmodell ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Hier hast du die wenigsten Möglichkeiten, da die Reihenfolge irrelevant ist und die Kugeln auch nicht zurückgelegt werden. Mit jedem Zug hast du also eine kleiner werdende Anzahl von Möglichkeiten.

(1, 2); (1, 3); (1, 4)
(2, 3); (2, 4)
(3, 4)

Hier sind Lotto oder auch Bingo bekannte Variante.

Wie geht es mit den Urnenmodellen weiter?

Das war jetzt erstmal ein kurzer Überblick, was das Urnenmodell in der Wahrscheinlichkeit überhaupt ist und wie man es benutzt.

Später kannst du zum Beispiel noch mit günstigen oder ungünstigen Ereignissen arbeiten. Zum Beispiel ein Pasch beim Würfeln, 6 Richtige beim Lotto, usw.

Die Wahrscheinlichkeit, mehrere Ereignisse zu kombinieren, ergibt sich dann aus der Anzahl der günstigen Ereignisse, geteilt durch alle möglichen Ereignisse.

Es kann auch sein, dass du beispielsweise mehr rote als blaue Kugeln in der Urne hast. Hier kannst du dann die Wahrscheinlichkeiten berechnen. Hieraus lässt sich dann ein Erwartungswert ermitteln.