Bei zweistufigen Zufallsversuchen und Vierfeldertafeln ist die Frage auch wichtig, ob die beiden Ereignisse stochastisch unabhängig sind oder ob eine Abhängigkeit im Auftreten besteht.
Was ist stochastische Unabhängigkeit?
Unter stochastischer Unabhängigkeit versteht man, wenn zwei Ereignisse nicht voneinander abhängig sind. Das heißt, dass das Eintreten des ersten Ereignisses keinen Einfluss auf das Eintreten des zweiten Ereignisses hat.
In der Vierfeldertafel siehst du die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen (Urnenmodell). Die Schnittmengen von A und B können nun entweder einen Einfluss durch das erste Ereignis haben (Beispiel: Der Test ist positiv, wenn der Patient infiziert ist) oder nicht (Beispiel: Die zweite Münze zeigt Kopf, wenn die erste Münze Zahl zeigt).
Anmerkung: Natürlich kann es auch falsch positive oder falsch negative Tests geben, aber bei einem Test geht man von einem positiven Ergebnis aus, wenn der Patient erkrankt ist. Daher ist das Ereignis „Test positiv“ abhängig von „Patient infiziert“.
So überprüfst du auf stochastische Unabhängigkeit
Es gibt zwei Wege, um auf stochastische Unabhängigkeit zu prüfen:
Entweder prüfst du, ob P(A|B) = P(B) und P(B|A) = P(A) gelten. Oder einfacher ist, wenn du das Produkt der Gesamtwahrscheinlichkeiten von A und B multiplizierst und die Schnittmenge überprüfst.
Beispiel für eine Überprüfung auf stochastische Unabhängigkeit
Wenn es dir bisher zu abstrakt war, wollen wir ein konkretes Beispiel verwenden, um die stochastische Unabhängigkeit zweiter Ereignisse zu überprüfen.
In einer Schule werden Schüler gefragt, ob sie Deutsch mögen oder nicht und ob sie Mathe mögen oder nicht. Dabei ergibt sich folgende Vierfeldertafel:
Die unterschiedlichen Werte können auch manchmal auf eine unterschiedliche Anzahl von Befragten hinweisen (zum Beispiel männlich oder weiblich), die mit einem weiteren Merkmal verknüpft werden. In diesem Fall ist das aber nicht der Fall.
Wenn du nun die Schnittmenge von P(D) und P(M) nimmst, erhältst du den Wert 0,2. Das Produkt von P(D) und P(M) ergibt aber 0,27. Daher sind die beiden Ereignisse nicht stochastisch unabhängig und weniger Befragten mögen Mathe, wenn sie Deutsch mögen bzw. mögen Deutsch, wenn sie Mathe mögen.
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