Bei einer Steckbriefaufgabe geht es darum, aus Informationen eine Funktion zu ermitteln. Ich erkläre dir, wie es geht und stelle dir häufige Angaben vor.
So funktioniert eine Steckbriefaufgabe
Eine Steckbriefaufgabe funktioniert im Prinzip wie eine Textaufgabe in der Grundschule. Du hast im Text Informationen versteckt, die du deuten musst.
Anschließend stellst du Formeln für die Unbekannten auf und löst diese Schritt für Schritt auf, sodass du alle Unbekannten herausfinden kannst.
Du musst also genau lesen und verstehen, welche Teile der Aufgabe wichtig sind. Normalerweise beziehen sich die Aufgaben auf ganzrationale Funktionen, die von minus Unendlich bis plus Unendlich gehen.
So gehst du bei einer Steckbriefaufgabe vor
Hier ein Beispiel für eine Steckbriefaufgabe:
f sei eine kubische Funktion, die einen Hochpunkt bei H (-1|4) hat und punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
In dieser Aufgabe hast du mehrere Angaben:
- Eine kubische Funktion ist eine Funktion dritten Grades.
- Die Funktion hat einen Hochpunkt bei H (-1|4).
- Die erste Ableitung hat deshalb eine Nullstelle bei P (-1|0).
- Die Funktion geht durch den Punkt (0|0).
- Durch die Punktsymmetrie liegt beispielsweise der Punkt H‘ (1|-4) auch auf f.
Bei einer kubischen Funktion (Polynom 3. Grades) hast du 4 Unbekannte (a, b, c und d). Das heißt, du benötigst immer eine Bedingung mehr als der Grad des Polynoms.
Zuerst schreibst du dir die allgemeine Form der Funktion und der Ableitung auf:
Ansatz
Durch den Verlauf durch den Ursprung ist d = 0. Die Punktsymmetrie bedeutet, dass b = 0 ist, weil es bei Punktsymmetrie nur ungerade Potenzen gibt (bei Achsensymmetrie nur gerade Potenzen).
f(x) = ax³ + cx
f'(x) = 3ax² + c
Dann mathematisierst du den Text:
Mathematisieren
f(-1) = 4
f'(-1) = 0
Wie du die Aufgabe löst, zeige ich dir im Video . Dort zeige ich dir auch, wie du mit schwereren Aufgaben umgehen kannst.
Einsetzen
Anschließend musst du die Gleichungen aufstellen. Im Beispiel ergeben dich die Gleichungen:
f(-1): a(-1)³ + c(-1) = 4
f'(-1): 3a(-1)² + c = 0
Aufgelöst ergibt das:
Auflösen
I: -a – c = 4
II: 3a + c = 0
Wenn du I und II addierst, fällt das c weg (Additionsverfahren).
I + II: 2a = 4 | :2
a = 2
Wenn du das nun einsetzt in I:
I: -2 – c = 4 | + c – 4
c = -6
Damit hast du dein Gleichungssystem und die Steckbriefaufgabe gelöst, was du mit einer Probe überprüfen kannst.
Häufige Bedingungen bei Steckbriefaufgaben
Mit Hilfe der folgenden häufigen Bedingungen kannst du vermutlich die meisten Steckbriefaufgaben sicher und gut mathematisieren. Nun musst du nur noch genau lesen und dir merken, dass abhängig vom Grad des Polynoms immer eine Gleichung mehr entstehen muss, damit du die Steckbriefaufgabe lösen kannst.
| Der Graph… | Bedingung |
|---|---|
| geht durch den Punkt P (-1|4) | f(-1) = 4 |
| hat eine Nullstelle bei x = -1 | f(-1) = 0 |
| hat an der Stelle x = -1 einen Extrempunkt | f'(-1) = 0 |
| hat an der Stelle x = -1 einen Wendepunkt | f“(-1) = 0 |
| hat im Punkt (-1|4) einen Sattelpunkt | f(-1) = 4 f'(-1) = 0 f“(-1) = 0 |
| schneidet die x-Achse bei -1 | f(-1) = 0 |
| schneidet die y-Achse bei 4 | f(0) = 4 |
| geht durch den Ursprung | f(0) = 0 |
| hat einen Hochpunkt bei H (-1|4) | f(-1) = 4 f'(-1) = 0 |
| berührt die x-Achse bei x = -1 | f(-1) = 0 f'(-1) = 0 |
| hat einen Extrempunkt auf der y-Achse | f'(0) = 0 |
| hat einen Wendepunkt auf der y-Achse | f“(0) = 0 |
| hat an der Stelle x = -1 eine Tangente mit der Steigung 4 | f'(-1) = 4 |
| hat an der Stelle x = -1 eine waagerechte Tangente | f'(-1) = 0 |
| hat bei x = -1 eine Wendestelle. Die Wendetangente hat eine Steigung von 4 | f“(-1) = 0 f'(-1) = 4 |
| ist bei x = -1 parallel zur Geraden y = 4x + 3 | f'(-1) = 4 |
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