Im ersten Teil ging es ums Ableiten: Steigung, Extremstellen, Wendepunkte. Hier gehen wir den Weg rückwärts. Aus einer Funktion f wird eine Stammfunktion F, und mit ihr lassen sich Flächen berechnen. Danach kommen die Sonderfunktionen dazu, die in der Qualifikationsphase verlangt werden: e-Funktion, Sinus und Kosinus, im Leistungskurs auch der natürliche Logarithmus. Dazu gehören die Produkt- und die Kettenregel.
Wir bleiben beim Beispiel aus dem ersten Teil, f(x)=x^3-6x^2+9x, dessen Ableitungen und Extrempunkte dort Schritt für Schritt erklärt sind. Wer das Ableiten noch nicht sicher beherrscht, sollte zuerst dort nachschauen, denn die Probe jeder Stammfunktion besteht aus einer Ableitung.
Stammfunktion und Integral: Ableiten rückwärts
Eine Stammfunktion F von f ist eine Funktion, deren Ableitung wieder f ergibt. Man geht also den Weg zurück. Die Potenzregel läuft dabei umgekehrt: Der Exponent wird um 1 erhöht, und man teilt durch den neuen Exponenten.\int x^n\,dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C
Für unser Beispiel f(x)=x^3-6x^2+9x bekommen wir:F(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^3+\frac{9}{2}x^2+C
Die Probe geht durch Ableiten: \frac{1}{4}x^4 wird zu x^3, -2x^3 wird zu -6x^2 und \frac{9}{2}x^2 wird zu 9x. Damit ist F^{\prime}(x)=f(x) erfüllt. Diese Probe solltest du bei jeder Stammfunktion machen, sie kostet zehn Sekunden.
Das C steht für eine beliebige Konstante. Beim Ableiten verschwindet jede Zahl ohne x, deshalb kennt man beim Rückweg diese Zahl nicht. Alle Funktionen, die sich nur um eine Verschiebung nach oben oder unten unterscheiden, sind Stammfunktionen derselben Funktion.
Mit einer Stammfunktion berechnest du das bestimmte Integral. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt: \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). Dabei fällt das C weg, weil es in beiden Termen gleich ist. Für die Fläche, die unser Graph zwischen x=0 und x=3 mit der x-Achse einschließt:\int_0^3 f(x)\,dx=\left[\frac{1}{4}x^4-2x^3+\frac{9}{2}x^2\right]_0^3=\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2}=\frac{81-216+162}{4}=\frac{27}{4}
Das sind 6,75 Flächeneinheiten. Weil f(x)=x(x-3)^2 zwischen 0 und 3 nie negativ ist, stimmt der Wert des Integrals hier mit dem Flächeninhalt überein.
Das Integral ist keine reine Flächenangabe, sondern eine orientierte Fläche. Liegt der Graph unter der x-Achse, ist der Wert negativ. Beim Polynom vierten Grades sieht man das gut. Eine Stammfunktion von g(x)=x^4-4x^3 ist G(x)=\frac{1}{5}x^5-x^4. Dann ist\int_0^4 g(x)\,dx=\frac{1}{5}\cdot 1024-256=-\frac{256}{5}=-51{,}2
Der Graph von g liegt zwischen 0 und 4 unter der x-Achse. Das Integral ist negativ, der Flächeninhalt beträgt 51,2 Flächeneinheiten. Wechselt eine Funktion in dem Intervall das Vorzeichen, musst du an den Nullstellen trennen und die Teile einzeln rechnen, sonst heben sich positive und negative Anteile auf.
Stammfunktion durch einen vorgegebenen Punkt
Manchmal ist nicht irgendeine Stammfunktion gesucht, sondern die, deren Graph durch einen bestimmten Punkt läuft, zum Beispiel durch P(0\,|\,5). Dann bestimmst du C durch Einsetzen: F(0)=C=5. Die gesuchte Stammfunktion ist F(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^3+\frac{9}{2}x^2+5.
Wenn der Graph die x-Achse schneidet: Integral und Fläche trennen
Bei h(x)=x^3-4x=x(x-2)(x+2) liegt der Graph zwischen den Nullstellen -2 und 0 über der x-Achse und zwischen 0 und 2 darunter. Eine Stammfunktion ist H(x)=\frac{1}{4}x^4-2x^2. Rechnet man in einem Schritt von -2 bis 2, kommt heraus:\int_{-2}^{2} h(x)\,dx=H(2)-H(-2)=(4-8)-(4-8)=0
Das Integral ist null, obwohl es eine Fläche gibt. Die Anteile oberhalb und unterhalb der Achse heben sich auf. Für den Flächeninhalt musst du an der Nullstelle trennen und die Beträge addieren:\int_{-2}^{0} h(x)\,dx=4 \qquad \int_{0}^{2} h(x)\,dx=-4 \qquad A=4+4=8
Sonderfunktionen: e-Funktion, Sinus, Kosinus und Logarithmus
Neben den Polynomen kommen in der Qualifikationsphase weitere Funktionstypen dazu. Ihre Ableitungen und Stammfunktionen gehören zu den Dingen, die man auswendig kennen muss, weil sie ohne Hilfsmittel abgefragt werden können.
| Funktion | Ableitung | Stammfunktion |
|---|---|---|
| e^x | e^x | e^x+C |
| e^{kx} | k\cdot e^{kx} | \frac{1}{k}e^{kx}+C |
| \sin(x) | \cos(x) | -\cos(x)+C |
| \cos(x) | -\sin(x) | \sin(x)+C |
| \frac{1}{x} | -\frac{1}{x^2} | \ln|x|+C |
Die Ableitung von \ln(x) ist \frac{1}{x}. Dass der natürliche Logarithmus als Stammfunktion von \frac{1}{x} auftaucht, ist ein Thema des Leistungskurses. Die Besonderheit der e-Funktion ist, dass sie ihre eigene Ableitung ist, und das macht sie für Wachstums- und Zerfallsprozesse so brauchbar.
Produktregel
Steht ein Produkt aus zwei Funktionen, die beide von x abhängen, brauchst du die Produktregel: (u\cdot v)^{\prime}=u^{\prime}\cdot v+u\cdot v^{\prime}. Ein Beispiel ist f(x)=x\cdot e^x. Mit u=x und v=e^x ergibt sich:f^{\prime}(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(x+1)\,e^x
Weil e^x nie null wird, entscheidet nur der Faktor x+1 über die Nullstellen der Ableitung: x=-1. Die zweite Ableitung ist f^{\prime\prime}(x)=(x+2)\,e^x. Für x=-1 ist sie e^{-1}\gt 0, also liegt ein Tiefpunkt vor mit dem y-Wert f(-1)=-e^{-1}\approx -0{,}37.
Kettenregel
Eine verkettete Funktion hat eine äußere und eine innere Funktion. Man leitet erst die äußere ab, lässt die innere stehen und multipliziert mit der Ableitung der inneren. Im Grundkurs verlangt der Kernlehrplan das nur für die e-Funktion mit einer linearen Funktion im Exponenten. Im Leistungskurs gilt die Regel allgemein.\left(e^{-2x+1}\right)^{\prime}=-2\,e^{-2x+1} \left(\sin(3x)\right)^{\prime}=3\cos(3x) \left((x^2+1)^3\right)^{\prime}=3(x^2+1)^2\cdot 2x=6x\,(x^2+1)^2
Beim Integrieren läuft die lineare Kettenregel rückwärts: Du teilst durch die Zahl vor dem x. So ist \frac{1}{2}e^{2x} eine Stammfunktion von e^{2x}.
Damit lässt sich zum Beispiel die Fläche unter e^{2x} zwischen 0 und 1 berechnen:\int_0^1 e^{2x}\,dx=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1=\frac{1}{2}e^2-\frac{1}{2}=\frac{e^2-1}{2}\approx 3{,}19
Was in NRW wann dran ist
Die Inhalte stammen aus dem Kernlehrplan Mathematik für die Sekundarstufe II an Gymnasien und Gesamtschulen in Nordrhein-Westfalen. Die Tabelle zeigt, was von diesem Teil in welcher Stufe verlangt wird.
| Stufe | Sonderfunktionen und Integralrechnung |
|---|---|
| Einführungsphase | Noch nicht vorgesehen |
| Grundkurs Q-Phase | Exponentialfunktionen, Sinus und Kosinus, Produktregel, Kettenregel nur für die e-Funktion mit linearem Exponenten; Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen ohne Hilfsmittel, bestimmtes Integral, Hauptsatz, Flächeninhalte, Bestandsfunktionen |
| Leistungskurs Q-Phase | Zusätzlich natürlicher Logarithmus und rationale Exponenten, Kettenregel allgemein, Umkehrfunktionen, uneigentliche Integrale und Rotationsvolumina |
Der Lehrplan verlangt, dass du Ableitungen und Stammfunktionen der Grundfunktionen ohne Hilfsmittel bilden kannst. Daneben arbeitest du mit einem modularen Mathematiksystem, das Ableitungen und Integrale auch mit Parametern berechnen kann. Wie die Abiturklausuren in Grund- und Leistungskurs aufgebaut sind, steht in Mathe-Abitur NRW. Welche Reihenfolge deine Schule wählt, regelt das schulinterne Curriculum, maßgeblich ist, was deine Lehrkraft ankündigt. Stand der Lehrplaninformationen: 14.11.2026.
Häufige Fragen von Schülerinnen und Schülern
Was ist der Unterschied zwischen Stammfunktion und Integral?
Die Stammfunktion F ist eine Funktion, deren Ableitung f ist. Das Integral ist eine Zahl: Es entsteht, wenn du Grenzen einsetzt und F(b)-F(a) ausrechnest. Das unbestimmte Integral ohne Grenzen steht für die Stammfunktion samt C, das bestimmte Integral mit Grenzen für eine Zahl.
Wozu brauche ich das +C bei der Stammfunktion?
Beim Ableiten fällt jede Konstante weg. Deshalb gibt es zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Zahl unterscheiden. Beim bestimmten Integral kürzt sich das C heraus, beim unbestimmten Integral und bei Aufgaben, in denen die Stammfunktion durch einen Punkt verlaufen soll, wird es gebraucht.
Ist das Integral dasselbe wie der Flächeninhalt?
Nur, wenn der Graph im betrachteten Bereich nicht unter der x-Achse liegt. Das Integral zählt Flächen unterhalb der Achse negativ. Für den Flächeninhalt musst du an den Nullstellen aufteilen und die Beträge addieren, wie im Beispiel mit dem Ergebnis 8 oben.
Woran erkenne ich, ob ich die Produktregel oder die Kettenregel brauche?
Die Produktregel brauchst du, wenn zwei Faktoren multipliziert werden, die beide von x abhängen, wie bei x\cdot e^x. Die Kettenregel brauchst du, wenn eine Funktion in einer anderen steckt, wie bei e^{-2x+1}, wo im Exponenten ein Term mit x steht. Manchmal braucht man beide, etwa bei x\cdot e^{2x}.
So übst du weiter
Rechne jede Stammfunktion zur Probe wieder ab, das sind zehn Sekunden und du siehst sofort, ob sie stimmt. Originalaufgaben mit Lösungen findest du über diese Sammlung. Wer Aufgaben mit Sachbezug unsicher findet, kann mit Transferaufgaben in Mathe anfangen.
Für Eltern
Bei der Integralrechnung können Sie etwas Konkretes kontrollieren: Eine Stammfunktion stimmt, wenn das Ableiten wieder die Ausgangsfunktion ergibt. Das lässt sich auch ohne tiefe Mathematikkenntnisse nachvollziehen, wenn Ihr Kind die Schritte laut erklärt.
Kurz zusammengefasst
Die Stammfunktion dreht das Ableiten um, und das bestimmte Integral rechnet man mit F(b)-F(a). Liegt der Graph unter der Achse, ist das Integral negativ, und bei Vorzeichenwechsel muss man für den Flächeninhalt an den Nullstellen trennen. Bei den Sonderfunktionen gelten dieselben Ideen, nur mit eigenen Tabellenwerten und mit Produkt- und Kettenregel. Das Ableiten, Extremstellen und Wendepunkte stehen im ersten Teil.
Quellen: Kernlehrplan Mathematik Sekundarstufe II Gymnasium/Gesamtschule NRW, Ministerium für Schule und Bildung NRW (Kapitel 2.3 und 2.4, Inhaltsfeld Funktionen und Analysis).
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