Ableiten ist in der Oberstufe das Werkzeug, auf dem fast alles in der Analysis aufbaut. Wer versteht, was eine Ableitung über den Graphen verrät, kann Hoch-, Tief- und Wendepunkte berechnen und Funktionen aus Angaben zurückgewinnen. In diesem ersten Teil gehen wir das an einem durchgehenden Beispiel durch, rechnen jeden Schritt aus und schauen parallel auf die Graphen. Zuerst kommt ein Polynom dritten Grades, danach eines vierten Grades, bei dem es eine typische Falle gibt. Der zweite Teil behandelt Stammfunktionen, Integrale und Sonderfunktionen wie die e-Funktion.
Der Text richtet sich an Schülerinnen und Schüler in der Einführungsphase und in der Qualifikationsphase, aber auch an Eltern, die beim Lernen mithelfen oder einfach nachvollziehen möchten, was ihr Kind gerade rechnet. Die Grundlagen zu quadratischen Funktionen findest du im Artikel Parabeln und quadratische Funktionen. Eine Übersicht, wie die Oberstufe in NRW aufgebaut ist, steht in Einstieg in EF, Q1, Q2.
Was beim Ableiten eigentlich passiert
Die Ableitung beantwortet eine einfache Frage: Wie steil ist der Graph an genau dieser Stelle? Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei einer gekrümmten Kurve ändert sie sich von Punkt zu Punkt, und man braucht dafür eine eigene Funktion, die Ableitungsfunktion f^{\prime}(x). Sie liefert für jeden x-Wert die Steigung der Tangente an dieser Stelle.
Unser Beispiel für den ganzen Artikel ist f(x)=x^3-6x^2+9x. Wir wollen wissen, wie steil der Graph im Ursprung ist. Dafür legen wir eine Sekante durch den Ursprung und einen zweiten Punkt auf dem Graphen, der im Abstand h rechts davon liegt. Die Steigung dieser Sekante ist der Differenzenquotient:\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h^3-6h^2+9h}{h}=h^2-6h+9
Für h=2 ergibt das die Steigung 1, für h=1 die Steigung 4 und für h=0{,}5 die Steigung 6,25. Je kleiner h wird, desto näher liegt der Wert an 9. Lässt man h gegen null gehen, bleibt genau 9 übrig. Das ist die Steigung der Tangente im Ursprung, also der Wert der Ableitung an dieser Stelle: f^{\prime}(0)=9.
Diesen Grenzübergang musst du in der Praxis nicht jedes Mal ausführen. Für ganzrationale Funktionen gibt es Regeln, die dir die Rechnung abnehmen. Ein Verständnis dafür, woher sie kommen, hilft trotzdem, weil sich viele spätere Aufgaben darauf zurückführen lassen: Steigung ist Ableitung, waagerechte Tangente heißt Ableitung null.
Die Ableitungsregeln für ganzrationale Funktionen
Für Polynome reichen drei Regeln. Die Potenzregel besagt: (x^n)^{\prime}=n\cdot x^{n-1}. Du holst den Exponenten nach vorn und verringerst ihn um 1. Die Faktorregel sagt, dass ein Faktor vor dem Term stehen bleibt. Nach der Summenregel leitest du jeden Summanden einzeln ab. Eine Zahl ohne x fällt weg, und x selbst wird zu 1.
| Term | Ableitung |
|---|---|
| x^4 | 4x^3 |
| x^3 | 3x^2 |
| x^2 | 2x |
| x | 1 |
| c \text{ (eine Zahl)} | 0 |
Damit leiten wir unser Beispiel Summand für Summand ab:f(x)=x^3-6x^2+9x f^{\prime}(x)=3x^2-12x+9
Der Summand x^3 wird zu 3x^2. Bei -6x^2 wird aus der 2 im Exponenten ein Faktor, es entsteht -6\cdot 2x=-12x. Aus 9x wird 9. Wer noch einmal ableitet, erhält die zweite und dritte Ableitung:f^{\prime\prime}(x)=6x-12 f^{\prime\prime\prime}(x)=6
Mit jeder Ableitung sinkt der Grad um eins. Bei einem Polynom dritten Grades ist die erste Ableitung also eine Parabel, die zweite eine Gerade und die dritte eine Konstante. Das ist nützlich, weil du daran sofort siehst, wie viele Lösungen du später höchstens erwarten kannst.
Grafisch ableiten: vom Graphen zur Ableitung ohne Rechnung
Das graphische Ableiten steht im Kernlehrplan schon für die Einführungsphase. Du bekommst einen Graphen und sollst den Graphen der Ableitung skizzieren. Dazu übersetzt du, was der Graph tut, in das, was die Ableitung sein muss. Steigt der Graph, liegt die Ableitung über der x-Achse. Fällt er, liegt sie darunter. An jeder waagerechten Tangente hat die Ableitung eine Nullstelle.
So gehst du beim Skizzieren vor:
- Markiere am Graphen von f alle Stellen mit waagerechter Tangente. Dort bekommt die Ableitung eine Nullstelle.
- Prüfe zwischen diesen Stellen, ob der Graph steigt oder fällt. Danach weißt du, ob die Ableitung dort positiv oder negativ ist.
- Suche die Stelle, an der der Graph am steilsten verläuft. Das ist ein Wendepunkt von f, und die Ableitung hat dort einen Hoch- oder Tiefpunkt.
- Zeichne eine glatte Kurve durch diese Informationen und mache eine Probe an einer Stelle, deren Steigung du kennst.
Im Bild siehst du, wie das zusammenpasst. Bei x=1 und x=3 hat f eine waagerechte Tangente, deshalb schneidet die Parabel von f^{\prime} dort die x-Achse. Bei x=2 fällt der Graph von f am stärksten, und genau dort liegt der Tiefpunkt der Parabel. Die Gerade von f^{\prime\prime} hat bei x=2 ihre Nullstelle. Das ist der Zusammenhang, den man später beim Rechnen nutzt: Ein Wendepunkt von f ist eine Extremstelle von f^{\prime} und eine Nullstelle von f^{\prime\prime}.
Extremstellen berechnen, Schritt für Schritt
Jetzt rechnen wir aus, was der Graph schon andeutet. Eine Extremstelle ist ein x-Wert, an dem die Funktion einen Hoch- oder Tiefpunkt hat. Weil dort die Tangente waagerecht ist, muss die Ableitung null sein. Diese Bedingung ist notwendig, reicht aber nicht allein aus, wie wir beim Polynom vierten Grades noch sehen werden.
Schritt 1 und 2: Ableitung null setzen
Die erste Ableitung kennen wir schon. Wir setzen sie null:3x^2-12x+9=0
Teilt man durch 3, entsteht die Normalform x^2-4x+3=0. Die pq-Formel liefert x=2\pm\sqrt{4-3}=2\pm 1, also x=1 und x=3. Man kann auch faktorisieren: 3(x-1)(x-3)=0. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist, und das führt auf dieselben beiden Werte.
Schritt 3: Art des Extrempunkts bestimmen
Jetzt setzen wir die beiden Werte in die zweite Ableitung ein. Ist sie negativ, liegt ein Hochpunkt vor, ist sie positiv, ein Tiefpunkt.f^{\prime\prime}(1)=6\cdot 1-12=-6\lt 0 \Rightarrow \text{Hochpunkt} f^{\prime\prime}(3)=6\cdot 3-12=6\gt 0 \Rightarrow \text{Tiefpunkt}
Schritt 4: y-Werte berechnen
Die x-Werte setzen wir in die ursprüngliche Funktion ein, nicht in die Ableitung. Das ist ein häufiger Flüchtigkeitsfehler.f(1)=1-6+9=4 \qquad f(3)=27-54+27=0
Wir erhalten den Hochpunkt H(1\,|\,4) und den Tiefpunkt T(3\,|\,0). Das passt zum Graphen oben.
Alternative: das Vorzeichenwechselkriterium
Statt der zweiten Ableitung kannst du auch das Vorzeichen von f^{\prime} links und rechts der Nullstellen untersuchen. Dafür wählst du in jedem Bereich einen Testwert:
| Bereich | Testwert | Wert der Ableitung | Verhalten von f |
|---|---|---|---|
| x\lt 1 | x=0 | f^{\prime}(0)=9 | steigt |
| 1\lt x\lt 3 | x=2 | f^{\prime}(2)=-3 | fällt |
| x\gt 3 | x=4 | f^{\prime}(4)=9 | steigt |
Bei x=1 wechselt die Ableitung von plus nach minus, der Graph steigt also erst und fällt dann: Hochpunkt. Bei x=3 läuft es umgekehrt: Tiefpunkt. Dieses Verfahren funktioniert auch dann, wenn die zweite Ableitung an der Stelle null ist, und sollte deshalb zu deinem Werkzeug gehören.
Eine kleine Begriffsklärung hilft bei Klausuren, in denen genau nach dem gefragt wird, was im Operator steht: Die Extremstelle ist der x-Wert, der Extremwert der y-Wert, und der Extrempunkt besteht aus beiden. Eine Übersicht zu Schreibweisen findest du in Mathematische Symbole. Außerdem sind lokale und globale Extrema zu unterscheiden. Unser Polynom dritten Grades läuft links nach minus unendlich und rechts nach plus unendlich, deshalb sind der Hoch- und der Tiefpunkt nur lokale Extrema. Wird die Funktion auf ein Intervall beschränkt, kommen die Randwerte als mögliche globale Extrema dazu.
Wendepunkte und Krümmung
Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der sich die Krümmung des Graphen ändert, also zum Beispiel von einer Rechtskurve in eine Linkskurve. Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung: Ist f^{\prime\prime}\lt 0, ist der Graph rechtsgekrümmt, ist f^{\prime\prime}\gt 0, linksgekrümmt. Für einen Wendepunkt muss die zweite Ableitung null sein, und die dritte darf es nicht sein.f^{\prime\prime}(x)=6x-12=0 \Rightarrow x=2 f^{\prime\prime\prime}(2)=6\neq 0 \Rightarrow \text{Wendestelle}
Der zugehörige y-Wert ist f(2)=8-24+18=2. Der Wendepunkt liegt bei W(2\,|\,2). Links davon, etwa bei x=1, ist f^{\prime\prime}(1)=-6 negativ, der Graph ist dort rechtsgekrümmt. Rechts davon, etwa bei x=3, ist f^{\prime\prime}(3)=6 positiv, der Graph ist linksgekrümmt.
Die Steigung im Wendepunkt ist f^{\prime}(2)=3\cdot 4-24+9=-3. Die Wendetangente hat daher die Gleichung y=-3(x-2)+2=-3x+8. Dass ein Polynom dritten Grades genau einen Wendepunkt hat, liegt daran, dass die zweite Ableitung eine Gerade ist und damit genau eine Nullstelle besitzt.
Polynome vierten Grades: der Terrassenpunkt als Falle
Bei Funktionen vierten Grades kann mehr passieren als bei Funktionen dritten Grades. Die folgende Tabelle zeigt, womit du bei einem Polynom mit positivem Koeffizienten vor der höchsten Potenz rechnen kannst.
| Eigenschaft | Grad 3 | Grad 4 |
|---|---|---|
| Nullstellen | höchstens 3 | höchstens 4 |
| Extremstellen | höchstens 2 | höchstens 3 |
| Wendestellen | genau 1 | höchstens 2 |
| Verhalten für sehr große und sehr kleine x | links nach unten, rechts nach oben | beide Seiten nach oben |
Bei negativem Koeffizienten vor der höchsten Potenz drehen sich die Richtungen um. Wir untersuchen jetzt g(x)=x^4-4x^3. Die drei Ableitungen sind:g^{\prime}(x)=4x^3-12x^2=4x^2(x-3) g^{\prime\prime}(x)=12x^2-24x=12x(x-2) g^{\prime\prime\prime}(x)=24x-24
Nullstellen der Funktion
Aus g(x)=x^3(x-4) folgt x=0 und x=4. Bei x=0 ist die Nullstelle dreifach: Der Graph schmiegt sich dort flach an die x-Achse, bei x=4 schneidet er sie glatt.
Extremstellen
Aus g^{\prime}(x)=4x^2(x-3)=0 ergeben sich x=0 und x=3. Wir prüfen mit der zweiten Ableitung:g^{\prime\prime}(3)=12\cdot 3\cdot 1=36\gt 0 \Rightarrow \text{Tiefpunkt } T(3\,|\,-27) g^{\prime\prime}(0)=0 \Rightarrow \text{keine Entscheidung möglich}
An der Stelle x=0 sagt das Kriterium mit der zweiten Ableitung nichts aus. Jetzt hilft das Vorzeichenwechselkriterium: g^{\prime}(-1)=-16 und g^{\prime}(1)=-8 sind beide negativ. Die Ableitung wechselt das Vorzeichen also nicht, der Graph fällt vor und nach x=0. Dort liegt kein Extrempunkt. Du erkennst das auch schon an der Faktorisierung: Der Faktor x^2 ist doppelt vorhanden, und bei einer doppelten Nullstelle der Ableitung berührt die Ableitung die x-Achse nur, ohne das Vorzeichen zu wechseln.
Wendestellen
Aus g^{\prime\prime}(x)=12x(x-2)=0 folgen x=0 und x=2. Die dritte Ableitung ist an beiden Stellen ungleich null: g^{\prime\prime\prime}(0)=-24 und g^{\prime\prime\prime}(2)=24. Beide sind also Wendestellen. Bei x=2 liegt der Wendepunkt W(2\,|\,-16). Bei x=0 gilt zusätzlich g^{\prime}(0)=0: Der Wendepunkt hat eine waagerechte Tangente. Einen solchen Punkt nennt man Sattelpunkt oder Terrassenpunkt, hier S(0\,|\,0).
Biquadratische Gleichungen im Leistungskurs
Enthält ein Polynom vierten Grades nur gerade Exponenten, spricht man von einer biquadratischen Funktion. Ihr Graph ist achsensymmetrisch, und die Nullstellen gewinnst du mit einer Substitution. Beispiel für x^4-5x^2+4=0: Setze z=x^2, löse z^2-5z+4=0 und erhalte z=1 oder z=4. Dann gilt x=\pm 1 oder x=\pm 2. Die Substitution am Ende zurückzurechnen vergessen viele, deshalb lohnt sich ein Blick auf die Aufgabenstellung, ob nach z oder nach x gefragt war.
Steckbriefaufgaben: aus Angaben die Funktion bestimmen
Bisher kam die Funktion vorgegeben. Bei Steckbriefaufgaben ist es umgekehrt: Du bekommst Eigenschaften des Graphen und sollst den Funktionsterm finden. Ein Beispiel: Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat im Punkt (2\,|\,4) einen Extrempunkt.
Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet, dass nur ungerade Exponenten vorkommen. Der Ansatz ist f(x)=ax^3+cx mit der Ableitung f^{\prime}(x)=3ax^2+c. Aus dem Extrempunkt folgen zwei Bedingungen: f^{\prime}(2)=0 und f(2)=4.12a+c=0 8a+2c=4
Aus der ersten Gleichung folgt c=-12a. Eingesetzt in die zweite ergibt das 8a-24a=4, also a=-\frac{1}{4} und c=3. Die gesuchte Funktion ist f(x)=-\frac{1}{4}x^3+3x. Eine Probe bestätigt es: f(2)=-2+6=4 und f^{\prime}(2)=-3+3=0. Eine ausführlichere Anleitung für diesen Aufgabentyp steht in Steckbriefaufgabe lösen.
Was in NRW wann dran ist
Die Inhalte stammen aus dem Kernlehrplan Mathematik für die Sekundarstufe II an Gymnasien und Gesamtschulen in Nordrhein-Westfalen. Die Tabelle ordnet das Ableiten und Untersuchen von Funktionen den Stufen zu. Die Integralrechnung steht im zweiten Teil.
| Stufe | Ableiten und Untersuchen |
|---|---|
| Einführungsphase | Ganzrationale Funktionen, mittlere und lokale Änderungsrate, Tangente und Sekante, graphisches Ableiten, Potenz-, Summen- und Faktorregel, Monotonie, Extrema, Krümmung und Wendepunkte |
| Grundkurs Q-Phase | Ganzrationale Funktionen und Exponentialfunktionen, Extremwertprobleme, Steckbriefaufgaben |
| Leistungskurs Q-Phase | Wie im Grundkurs, zusätzlich Funktionsscharen und biquadratische Gleichungen ohne Hilfsmittel |
Der Lehrplan verlangt ausdrücklich, dass du Ableitungen der Grundfunktionen ohne Hilfsmittel bilden kannst. Daneben arbeitest du mit einem modularen Mathematiksystem, das Ableitungen auch mit Parametern berechnen kann. Beides gehört zusammen: Das Werkzeug rechnet, aber du musst erkennen, ob das Ergebnis plausibel ist. Wie die Abiturklausuren in Grund- und Leistungskurs aufgebaut sind, steht in Mathe-Abitur NRW. Zur Zentralen Klausur am Ende der Einführungsphase gibt es den Artikel ZKE Mathematik im Detail. Wer noch vor der Wahl von Grundkurs oder Leistungskurs steht, findet im Ratgeber zur Kurswahl eine Entscheidungshilfe.
Welche Reihenfolge deine Schule wählt, regelt das schulinterne Curriculum. Es kann daher sein, dass dein Kurs ein Thema früher oder später behandelt, als es hier steht. Maßgeblich ist, was deine Lehrkraft ankündigt. Stand der Lehrplaninformationen: 14.11.2026.
Häufige Fragen von Schülerinnen und Schülern
Warum setze ich die Ableitung gleich null?
Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an. An einem Hoch- oder Tiefpunkt verläuft die Tangente waagerecht, ihre Steigung ist also null. Mit f^{\prime}(x)=0 suchst du alle Stellen mit waagerechter Tangente. Das sind die Kandidaten für Extremstellen. Ob es wirklich Extremstellen sind, entscheidet erst der zweite Schritt.
Was mache ich, wenn die zweite Ableitung an der Stelle null ist?
Dann liefert das Kriterium mit der zweiten Ableitung keine Aussage. Es kann ein Extrempunkt sein oder ein Sattelpunkt. Prüfe das Vorzeichen von f^{\prime} links und rechts der Stelle. Wechselt es, ist es ein Extrempunkt. Bleibt es gleich, liegt keiner vor. Das Beispiel x^4-4x^3 oben zeigt genau diesen Fall.
Ist jeder Sattelpunkt auch ein Wendepunkt?
Ja. Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, bei dem die Tangente waagerecht verläuft. Umgekehrt gilt das nicht: Unser Wendepunkt W(2\,|\,2) im ersten Beispiel hat die Steigung -3 und ist deshalb kein Sattelpunkt.
Was ist der Unterschied zwischen Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt?
Die Extremstelle ist der x-Wert, der Extremwert ist der y-Wert und der Extrempunkt besteht aus beiden Koordinaten. Bei H(1\,|\,4) ist 1 die Extremstelle und 4 der Extremwert. Achte in Klausuren darauf, was genau verlangt wird. Wer nur den x-Wert angibt, obwohl der Punkt gefragt war, verschenkt Punkte.
Muss ich die Ableitungsregeln auswendig können?
Für die Grundfunktionen ja. Der Kernlehrplan verlangt, dass du Ableitungen von ganzrationalen Funktionen ohne Hilfsmittel bildest. Das Lernen geht schneller, wenn du nicht Formeln pauken, sondern Beispiele durchrechnest und dir danach selbst erklärst, was passiert ist. Hilfreiche Ideen dazu stehen in Mathe lernen ist wie Kochen mit Rezept und in Lernen für Klassenarbeiten.
So übst du weiter
Am meisten bringt es, eine Aufgabe komplett selbst zu rechnen und das Ergebnis mit dem Graphen zu vergleichen. Wenn dein Graph einen Hochpunkt bei (1\,|\,4) zeigt und deine Rechnung etwas anderes ergibt, hast du einen Fehler gefunden, bevor es die Lehrkraft tut. Und wenn du gerade glaubst, Mathe sei nichts für dich: Ich kann kein Mathe ist für genau diesen Moment geschrieben.
Auf klassenkram.de findest du ein interaktives Tool zum Ableitungen üben.
Für Eltern
Sie müssen die Analysis nicht selbst beherrschen, um Ihr Kind zu unterstützen. Eine gute Frage am Küchentisch lautet: Was sagt die Ableitung über den Graphen? Wer das mit eigenen Worten erklären kann, hat den Kern verstanden. Außerdem lässt sich vieles kontrollieren: Einen Extrempunkt prüft man durch einen Blick auf den Graphen. Wenn Ihr Kind eine Klausur nach schlechtem Ergebnis aufarbeitet, hilft eine Liste der Fehler nach Art: Rechenfehler auf der einen Seite, falsch gewähltes Verfahren auf der anderen.
Kurz zusammengefasst
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung, die zweite die Krümmung. Extremstellen liegen dort, wo die erste Ableitung null ist und ihr Vorzeichen wechselt. Wendestellen liegen dort, wo die zweite Ableitung null ist und die dritte nicht. Ist an einer Stelle auch die erste Ableitung null, handelt es sich um einen Sattelpunkt. Wie du den Weg umdrehst und Flächen berechnest, steht im zweiten Teil über Stammfunktion und Integral.
Quellen: Kernlehrplan Mathematik Sekundarstufe II Gymnasium/Gesamtschule NRW, Ministerium für Schule und Bildung NRW (Kapitel 2.3 und 2.4, Inhaltsfeld Funktionen und Analysis).
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