Wer in der Oberstufe zum ersten Mal eine Funktion wie f(x)=x^4-3x^3+2x^2 untersucht, sieht viele Zahlen auf einmal und weiß nicht, wo er anfangen soll. Dabei muss man gar nicht alles gleichzeitig betrachten. Zwei Fragen genügen für einen ersten Überblick: Wohin läuft der Graph, wenn x sehr groß oder sehr klein wird? Und wie sieht er unmittelbar neben der Null aus? Die erste Frage nennt man Globalverhalten, die zweite Verhalten nahe Null, manchmal auch Lokalverhalten bei Null. Welches Wort in einer Arbeit steht, hängt vom Schulbuch und von der Lehrkraft ab.
Dieser Artikel richtet sich an Schülerinnen und Schüler der Oberstufe und an Eltern, die beim Üben helfen möchten. Es geht um ganzrationale Funktionen, also um Funktionen, deren Term aus Potenzen von x mit Vorfaktoren besteht, zum Beispiel x^2-5x+3 oder x^4.
Die Kurzfassung
In beiden Fällen entscheidet am Ende nur ein einziger Term. Für sehr große und sehr kleine x ist es der Term mit der höchsten Hochzahl (dem höchsten Exponenten). Direkt neben der Null ist es der Term mit der niedrigsten Hochzahl. Die übrigen Terme sind dann im Vergleich so klein, dass sie das Bild kaum noch verändern.
Globalverhalten: Der höchste Exponent setzt sich durch
Setzt man in f(x)=x^4-3x^3+2x^2 große Zahlen ein, sieht man das schnell:
| x | f(x) | zum Vergleich: x⁴ |
|---|---|---|
| 10 | 7 200 | 10 000 |
| 100 | 97 020 000 | 100 000 000 |
Bei x = 10 liefert der Term x^4 allein schon 10 000, die beiden anderen Terme ziehen davon noch ein Stück ab. Bei x = 100 liegt der Funktionswert schon bei gut 97 Prozent von x^4. Je größer x wird, desto unwichtiger werden die übrigen Terme.
Für das Globalverhalten schaut man deshalb nur darauf, ob die höchste Hochzahl gerade oder ungerade ist und ob der Vorfaktor davor positiv oder negativ ist. Daraus ergeben sich vier Fälle:
| höchste Hochzahl | Vorfaktor | links (x → −∞) | rechts (x → +∞) |
|---|---|---|---|
| gerade | positiv | f(x) → +∞ | f(x) → +∞ |
| gerade | negativ | f(x) → −∞ | f(x) → −∞ |
| ungerade | positiv | f(x) → −∞ | f(x) → +∞ |
| ungerade | negativ | f(x) → +∞ | f(x) → −∞ |
In unserem Beispiel ist der höchste Term x^4, die Hochzahl 4 ist gerade und der Vorfaktor ist 1, also positiv. Der Graph geht deshalb auf beiden Seiten nach oben. In der Kurzschreibweise (die Zeichen findest du auch im Artikel zu den mathematischen Symbolen) heißt das: für x\to\infty gilt f(x)\to\infty, und für x\to-\infty gilt ebenfalls f(x)\to\infty.
Verhalten nahe Null: Der niedrigste Exponent setzt sich durch
Jetzt die Gegenprobe mit kleinen Zahlen. Potenzen von Zahlen zwischen 0 und 1 werden mit wachsender Hochzahl winzig: 0{,}1^2=0{,}01, aber 0{,}1^4=0{,}0001. Hier gewinnt also der Term, der am wenigsten klein gemacht wird.
| x | f(x) | zum Vergleich: 2x² |
|---|---|---|
| 0,1 | 0,0171 | 0,02 |
| 0,01 | 0,00019701 | 0,0002 |
Direkt neben der Null sieht der Graph aus wie die Parabel 2x^2. Wie das im Einzelnen aussieht, hängt davon ab, welche Hochzahl der niedrigste Term hat:
| niedrigster Term | nahe Null sieht der Graph aus wie | was das bedeutet |
|---|---|---|
| eine Zahl ohne x, z. B. 3 | eine waagerechte Linie in dieser Höhe | der Graph schneidet die y-Achse bei 3 |
| a·x | eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung a | der Graph läuft durch (0|0) und wechselt dort die Seite der x-Achse |
| a·x² | eine Parabel | der Graph berührt die x-Achse in (0|0) |
| a·x³ | die flache x³-Kurve | der Graph läuft durch (0|0), wechselt die Seite und verläuft dort sehr flach |
Als Faustregel gilt: Ist die niedrigste Hochzahl gerade, bleibt der Graph neben der Null auf einer Seite der x-Achse und berührt sie nur. Ist sie ungerade, wechselt er in der Null die Seite. Wenn es einen Term ohne x gibt, ist das der Funktionswert bei Null; wie der Graph von dort aus weiterläuft, sagt dann der nächste Term. Mehr zu Parabeln, die ja schon im Fall x^2 auftauchen, steht im Artikel Parabeln und quadratische Funktionen.
Ein zweites Beispiel
Nehmen wir f(x)=-x^3+4x. Der höchste Term ist -x^3: ungerade Hochzahl, negativer Vorfaktor. Der Graph kommt links von oben und geht rechts nach unten. Der niedrigste Term ist 4x, also läuft der Graph bei Null wie die Gerade y=4x durch den Ursprung und steigt dort an. Wer schon ableiten kann, findet das bestätigt: f'(x)=-3x^2+4 und damit f'(0)=4.
Klammert man x aus, erhält man f(x)=x(2-x)(2+x) und damit die Nullstellen −2, 0 und 2. Der Graph kommt von links oben, schneidet bei −2 die x-Achse, bildet unterhalb ein Tal, steigt durch den Ursprung, bildet oberhalb einen Hügel und fällt nach der Nullstelle bei 2 nach rechts unten weg.
Beides zusammen: eine Skizze ohne Wertetabelle
Zurück zu f(x)=x^4-3x^3+2x^2. Aus dem Globalverhalten und dem Verhalten nahe Null kann man den Graphen schon grob zeichnen. Dazu klammert man x^2 aus: f(x)=x^2(x^2-3x+2). Die Klammer löst man mit der pq-Formel und erhält die Nullstellen 1 und 2. Zusammen mit der doppelten Nullstelle bei 0 sind das die Nullstellen 0, 1 und 2.
Der Graph kommt also von links oben, berührt bei 0 die x-Achse (er sieht dort aus wie 2x^2) und steigt wieder an. Bei 1 schneidet er die x-Achse nach unten, bei 2 wieder nach oben und läuft dann rechts weiter nach oben. Dass er zwischen 1 und 2 unter der x-Achse verläuft, passt zu dieser Beschreibung. Das ist der Grund, warum diese beiden Beobachtungen so nützlich sind: Sie liefern ein Gerüst, an dem man die Rechenergebnisse später überprüfen kann.
Rückwärts funktioniert das auch. Wenn in einer Aufgabe der Verlauf eines Graphen beschrieben ist und man daraus eine Funktion aufstellen soll, verraten Globalverhalten und Verhalten nahe Null, welchen Grad und welches Vorzeichen die Funktion haben kann. Wie man solche Aufgaben angeht, steht im Artikel zur Steckbriefaufgabe.
Häufige Fragen von Schülerinnen und Schülern
Was mache ich, wenn die Terme nicht nach Hochzahlen sortiert sind?
Dann sortierst du zuerst im Kopf oder auf dem Blatt. Bei f(x)=-x^4+3x^5 steht der Term mit der Hochzahl 4 vorne, entscheidend ist aber die Hochzahl 5. Sie ist ungerade und der Vorfaktor 3 ist positiv, also geht der Graph links nach unten und rechts nach oben. Ein typischer Fehler ist, einfach den ersten Term im Blick zu haben, oder das Minuszeichen vor dem führenden Term zu übersehen.
Wie schreibe ich das Ergebnis auf?
Mit Pfeil, etwa x\to\infty: f(x)\to\infty, oder mit dem Limes, etwa \lim\raisebox{-0.8em}{\scriptsize x\to\infty}f(x)=\infty. Beide Richtungen schreibt man in der Regel getrennt auf, und in der Zeile soll erkennbar sein, zu welcher Funktion die Aussage gehört. Welche Schreibweise in deinem Kurs erwartet wird, steht im Heft oder lässt sich bei der Lehrkraft erfragen.
Warum kommt es auf die Null an und nicht auf eine andere Stelle?
Die Null ist die Stelle, an der Potenzen von x verschwinden: Je höher die Hochzahl, desto kleiner wird der Term. An einer anderen Stelle, etwa bei x = 2, gibt es diesen Effekt nicht. Dort liegt der Graph einfach in der Nähe des Funktionswerts f(2), und für mehr braucht man später die Ableitung.
Gilt das auch für Funktionen mit x im Nenner?
Nicht eins zu eins. Bei Brüchen aus zwei Termen mit x vergleicht man die höchsten Hochzahlen im Zähler und im Nenner. Ist die Hochzahl im Zähler kleiner, nähert sich der Graph für sehr große Beträge von x der x-Achse an. Das ist ein eigenes Thema; die Grundidee, dass jeweils nur ein Term den Ausschlag gibt, bleibt aber erhalten. Ob ein Wert überhaupt eingesetzt werden darf, klärt der Artikel zur Definitionsmenge und Wertemenge.
Muss ich die Tabelle mit den vier Fällen auswendig lernen?
Nein, du kannst sie jederzeit herleiten. Denk dir x=-10 und setze in x^2 und x^3 ein: katex^2=100[/katex] ist positiv, katex^3=-1000[/katex] ist negativ. Gerade Hochzahlen machen negative x also positiv, ungerade Hochzahlen nicht. Der Vorfaktor dreht dann das Ergebnis um, wenn er negativ ist. Wer Mathe lieber über feste Abläufe lernt, findet im Artikel Mathe lernen ist wie Kochen mit Rezept eine passende Einstellung dazu, und wer sich schwertut, sollte Ich kann kein Mathe anschauen.
Für Eltern
Sie müssen für die Unterstützung zu Hause keine Analysis beherrschen. Eine gute Frage beim Üben lautet: „Welcher Term gewinnt hier, wenn x sehr groß ist, und welcher, wenn x sehr klein ist?“ Mit dem Taschenrechner lässt sich das nachprüfen, indem man 10, 100, 0,1 und 0,01 einsetzt, so wie in den Tabellen oben. Welche Inhalte für die zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase verlangt werden, steht im Artikel ZKE Mathematik: Inhalte und Anforderungen; wie das Fach danach in der Qualifikationsphase aufgebaut ist, im Artikel zum Mathe-Abitur in NRW.
Zusammenfassung
Bei einer ganzrationalen Funktion bestimmt der Term mit der höchsten Hochzahl, wohin der Graph weit draußen läuft, und der Term mit der niedrigsten Hochzahl, wie er direkt neben der Null aussieht. Wer beides notiert und die Nullstellen ergänzt, hat schon eine brauchbare Skizze, bevor die eigentliche Rechnung beginnt.
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