Bei einer Steckbriefaufgabe kennst du die Eigenschaften eines Graphen und sollst die zugehörige Funktionsgleichung finden. Es ist also die Umkehrung der Kurvendiskussion: Dort rechnest du aus dem Term den Hochpunkt aus, hier bekommst du den Hochpunkt genannt und suchst den Term. Wie das Schritt für Schritt geht, zeige ich dir an zwei Beispielen. Unten findest du eine Tabelle, die typische Formulierungen in Bedingungen übersetzt.
So funktioniert eine Steckbriefaufgabe
Eine Steckbriefaufgabe ist eine Textaufgabe, bei der die Informationen im Text versteckt sind. Deine Arbeit besteht aus drei Teilen: Du liest den Text genau, übersetzt jede Angabe in eine Gleichung und löst am Ende das entstandene Gleichungssystem.
Meistens geht es um ganzrationale Funktionen, also Polynome wie f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Gesucht sind dann die Zahlen a, b, c und d. Ich sehe in der Schule immer wieder, dass das Rechnen am Ende selten das Problem ist. Schwierig ist der Schritt davor: Aus „hat einen Hochpunkt bei H(−1|4)“ müssen zwei Gleichungen werden, und genau da fehlt oft eine.
Die Faustregel: Ein Polynom vom Grad n hat n+1 Parameter. Du brauchst deshalb n+1 Bedingungen. Bei einer Funktion dritten Grades sind das vier, bei einer Parabel drei.
So gehst du bei einer Steckbriefaufgabe vor
Als erstes Beispiel nehmen wir diese Aufgabe:
f ist eine kubische Funktion. Ihr Graph hat einen Hochpunkt bei H(−1|4) und ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Schritt 1: Ansatz aufschreiben
Kubisch heißt Grad 3. Du schreibst die allgemeine Form und gleich die Ableitungen dazu, weil du sie gleich brauchst:
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b
Schritt 2: Angaben sammeln und übersetzen
Der Text enthält mehr, als man auf den ersten Blick sieht. Der Hochpunkt liefert zwei Angaben: Der Punkt liegt auf dem Graphen, und dort ist die Steigung null. Die Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet, dass nur ungerade Exponenten vorkommen dürfen. Der Term hat also kein x² und keine Konstante. Daraus folgt b = 0 und d = 0. Bei Achsensymmetrie zur y-Achse wäre es umgekehrt: Dann dürfen nur gerade Exponenten vorkommen.
Damit vereinfacht sich der Ansatz:
f(x)=ax^3+cx \qquad f'(x)=3ax^2+c
Die zwei übrigen Bedingungen lauten:
f(-1)=4 \qquad f'(-1)=0
Vier Parameter, vier Bedingungen: zwei aus der Symmetrie, zwei aus dem Hochpunkt. Es passt.
Schritt 3: Einsetzen und Gleichungssystem lösen
Du setzt x = −1 in die beiden Terme ein:
\text{I:}\quad -a-c=4
\text{II:}\quad 3a+c=0
Addierst du beide Gleichungen, fällt c weg:
2a=4 \quad\Rightarrow\quad a=2
Aus II folgt dann c=-3a=-6. Die gesuchte Funktion ist also
f(x)=2x^3-6x
Wie du das Ganze im Video siehst und wie du mit schwereren Aufgaben umgehst, erkläre ich hier:
Schritt 4: Probe
Die Probe ist kein Extra, sondern schützt dich vor Flüchtigkeitsfehlern. Du prüfst, ob die Funktion wirklich alles erfüllt, was im Text steht:
f(-1)=2\cdot(-1)^3-6\cdot(-1)=-2+6=4 \;\checkmark
f'(x)=6x^2-6 \quad\Rightarrow\quad f'(-1)=6-6=0 \;\checkmark
f''(-1)=12\cdot(-1)=-12<0 \quad\Rightarrow\quad \text{Hochpunkt} \;\checkmark
Die zweite Ableitung ist negativ, es ist also tatsächlich ein Hochpunkt und kein Tiefpunkt. Die Punktsymmetrie stimmt ebenfalls, denn der Term enthält nur ungerade Potenzen.
Ein zweites Beispiel ohne Symmetrie
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Punkt W(1|2) einen Wendepunkt. Er schneidet die y-Achse bei 4 und verläuft dort waagerecht.
Hier gibt es keine Symmetrie, die dir Parameter abnimmt. Du brauchst alle vier Bedingungen aus dem Text:
f(1)=2 \qquad f''(1)=0 \qquad f(0)=4 \qquad f'(0)=0
Mit dem allgemeinen Ansatz von oben ergibt das:
\text{I:}\quad a+b+c+d=2
\text{II:}\quad 6a+2b=0
\text{III:}\quad d=4
\text{IV:}\quad c=0
III und IV liefern d und c direkt. Aus II folgt b = −3a. Beides setzt du in I ein: a − 3a + 0 + 4 = 2, also −2a = −2 und damit a = 1 und b = −3. Das Ergebnis:
f(x)=x^3-3x^2+4
Die Probe: f(1) = 1 − 3 + 4 = 2, f“(x) = 6x − 6 hat bei x = 1 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, f(0) = 4 und f'(0) = 0.
Häufige Bedingungen bei Steckbriefaufgaben
Mit dieser Tabelle kannst du die meisten Aufgaben übersetzen. Wichtig ist, dass du pro Zeile nachzählst, wie viele Gleichungen entstehen. Ein Hochpunkt oder ein Berührpunkt liefert zwei, ein Sattelpunkt sogar drei.
| Der Graph … | Bedingung |
|---|---|
| geht durch den Punkt P(−1|4) | f(-1)=4 |
| hat eine Nullstelle bei x = −1 | f(-1)=0 |
| schneidet die x-Achse bei −1 | f(-1)=0 |
| schneidet die y-Achse bei 4 | f(0)=4 |
| geht durch den Ursprung | f(0)=0 |
| hat an der Stelle x = −1 einen Extrempunkt | f'(-1)=0 |
| hat einen Hochpunkt (oder Tiefpunkt) bei H(−1|4) | f(-1)=4 und f'(-1)=0 |
| hat einen Extrempunkt auf der y-Achse | f'(0)=0 |
| berührt die x-Achse bei x = −1 | f(-1)=0 und f'(-1)=0 |
| hat an der Stelle x = −1 einen Wendepunkt | f''(-1)=0 |
| hat einen Wendepunkt auf der y-Achse | f''(0)=0 |
| hat bei x = −1 eine Wendestelle, die Wendetangente hat die Steigung 4 | f''(-1)=0 und f'(-1)=4 |
| hat im Punkt (−1|4) einen Sattelpunkt | f(-1)=4, f'(-1)=0 und f''(-1)=0 |
| hat an der Stelle x = −1 eine waagerechte Tangente | f'(-1)=0 |
| hat an der Stelle x = −1 eine Tangente mit der Steigung 4 | f'(-1)=4 |
| ist bei x = −1 parallel zur Geraden y = 4x + 3 | f'(-1)=4 |
| ist achsensymmetrisch zur y-Achse | nur gerade Exponenten im Term |
| ist punktsymmetrisch zum Ursprung | nur ungerade Exponenten im Term |
| Der Graph … | Bedingung |
|---|---|
| geht durch den Punkt P(−1|4) | f(-1)=4 |
| hat eine Nullstelle bei x = −1 | f(-1)=0 |
| schneidet die x-Achse bei −1 | f(-1)=0 |
| schneidet die y-Achse bei 4 | f(0)=4 |
| geht durch den Ursprung | f(0)=0 |
| hat an der Stelle x = −1 einen Extrempunkt | f'(-1)=0 |
| hat einen Hochpunkt (oder Tiefpunkt) bei H(−1|4) | f(-1)=4 und f'(-1)=0 |
| hat einen Extrempunkt auf der y-Achse | f'(0)=0 |
| berührt die x-Achse bei x = −1 | f(-1)=0 und f'(-1)=0 |
| hat an der Stelle x = −1 einen Wendepunkt | f''(-1)=0 |
| hat einen Wendepunkt auf der y-Achse | f''(0)=0 |
| hat bei x = −1 eine Wendestelle, die Wendetangente hat die Steigung 4 | f''(-1)=0 und f'(-1)=4 |
| hat im Punkt (−1|4) einen Sattelpunkt | f(-1)=4, f'(-1)=0 und f''(-1)=0 |
| hat an der Stelle x = −1 eine waagerechte Tangente | f'(-1)=0 |
| hat an der Stelle x = −1 eine Tangente mit der Steigung 4 | f'(-1)=4 |
| ist bei x = −1 parallel zur Geraden y = 4x + 3 | f'(-1)=4 |
| ist achsensymmetrisch zur y-Achse | nur gerade Exponenten im Term |
| ist punktsymmetrisch zum Ursprung | nur ungerade Exponenten im Term |
Häufige Fragen zu Steckbriefaufgaben
Woher weiß ich, wie viele Bedingungen ich brauche?
Zähle die Parameter im Ansatz. Eine Funktion dritten Grades hat vier (a, b, c, d), eine vierten Grades fünf. Genauso viele Gleichungen musst du am Ende haben, sonst lässt sich das System nicht eindeutig lösen.
In der Aufgabe stehen nur zwei Angaben, aber ich brauche vier. Was nun?
Dann stecken weitere Angaben in den Formulierungen. Typisch sind Symmetrie (sie legt Parameter direkt auf null fest), der Hinweis „geht durch den Ursprung“ und Extrempunkte, die immer zwei Gleichungen liefern. Lies den Text noch einmal und markiere jede Angabe, bevor du rechnest.
Wo ist der Unterschied zwischen „berührt“ und „schneidet“ die x-Achse?
Beim Schneiden gilt nur f(x) = 0 an der Stelle. Berührt der Graph die Achse, liegt dort außerdem ein Extrempunkt, die Steigung ist also null. Das ergibt eine zweite Gleichung.
Muss ich prüfen, ob es wirklich ein Hochpunkt ist?
Bedingungen wie f'(x) = 0 beschreiben nur, dass die Steigung null ist. Ob ein Hoch-, ein Tief- oder ein Sattelpunkt vorliegt, siehst du erst an f“. Bei Wendepunkten sollte f“‘ ungleich null sein beziehungsweise f“ das Vorzeichen wechseln. Diese Prüfung gehört in die Probe, damit du sicher bist, dass die gefundene Funktion zum Text passt.
Was mache ich, wenn das Gleichungssystem größer wird?
Fang mit den Gleichungen an, die nur einen Parameter enthalten, wie d = 4 oben. Danach setzt du ein, bis nur noch eine Unbekannte übrig ist. Wenn du ein Verfahren für lineare Gleichungssysteme sicher beherrschst, ist der Rest Routine.
Wie es weitergeht
Steckbriefaufgaben brauchen sichere Ableitungen. Wenn du dort noch wackelst, hilft dir mein Artikel Ableitungen – Extremstellen und Wendepunkte. Danach lohnt sich ein Blick auf Stammfunktion, Integral und E-Funktion. Was in der Mathematik-Klausur am Ende der Einführungsphase verlangt wird, steht in den Artikeln zur Zentralen Klausur und zu den Inhalten und Anforderungen in Mathematik.
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