Die Polynomdivision sieht auf den ersten Blick wild aus: Buchstaben, Hochzahlen, Vorzeichen und mittendrin ein Teilungszeichen. Dabei läuft sie fast genauso ab wie das schriftliche Dividieren aus der Grundschule. Dieser Artikel richtet sich an Schülerinnen und Schüler ab der Einführungsphase und an Eltern, die beim Üben helfen möchten. Ich zeige das Vorgehen in vier Schritten und rechne danach vier Beispiele vollständig durch: ohne Rest, mit fehlendem Term, mit selbst gesuchter Nullstelle und mit Rest. Am Ende stehen häufige Schülerfragen und drei Übungsaufgaben mit Lösungen.
Wofür braucht man die Polynomdivision?
In den allermeisten Fällen geht es um Nullstellen. Bei einer Gleichung wie x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 kommt man weder mit der pq-Formel noch mit Ausklammern direkt weiter, weil die höchste Potenz 3 ist. Der Trick besteht darin, eine Nullstelle zu kennen oder zu erraten, den dazugehörigen Linearfaktor abzuspalten und die Gleichung so auf eine quadratische zu verkleinern. Die löst man dann wie gewohnt, zum Beispiel mit dem, was du über Parabeln und quadratische Funktionen weißt.
In manchen Schulbüchern für die Einführungsphase steht die Polynomdivision im Kapitel zu den Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Ob sie bei euch verpflichtend geprüft wird, regelt der schulinterne Lehrplan der Fachschaft. Einen Überblick über das, was in NRW in der Einführungsphase zentral geprüft wird, findest du im Artikel zur ZKE Mathematik.
Die Idee: schriftliches Dividieren mit x
Bei 14 : 4 passt die 4 dreimal in die 14, übrig bleiben 2. Man schreibt 14 : 4 = 3 Rest 2, und die Probe lautet 3 · 4 + 2 = 14. Wie das Verfahren bei großen Zahlen Stelle für Stelle funktioniert, erkläre ich in dem Artikel über die schriftliche Division. Bei Polynomen läuft es genauso, nur vergleichst du statt Ziffern die Terme mit x. Die Probe heißt dann: Quotient mal Divisor plus Rest ergibt wieder das Ausgangspolynom.
Drei Begriffe brauchst du: Der Dividend ist das Polynom, das geteilt wird. Der Divisor ist das Polynom, durch das man teilt, meistens ein Linearfaktor wie x – 2. Das Ergebnis heißt Quotient.
Das Vorgehen in vier Schritten
- Teilen: Den ersten Term des Dividenden durch den ersten Term des Divisors teilen. Das Ergebnis schreibst du hinter das Gleichheitszeichen.
- Multiplizieren: Das Ergebnis mit dem ganzen Divisor multiplizieren und das Produkt unter den Dividenden schreiben.
- Subtrahieren: Das Produkt vom Dividenden abziehen. Alle Vorzeichen des Produkts werden dabei umgedreht, deshalb setzt man am besten eine Klammer mit Minus davor.
- Herunterholen: Den nächsten Term des Dividenden nach unten holen und wieder bei Schritt 1 beginnen. Du hörst auf, wenn nichts mehr herunterzuholen ist.
Beispiel 1: Division ohne Rest
Aufgabe: (x^3 + 2x^2 – 5x – 6) : (x – 2)
Die Aufgabe gibt vor, dass x = 2 eine Nullstelle ist. Deshalb teilen wir durch x – 2.
Erster Durchgang: x^3 : x = x^2. Dieses x^2 kommt hinter das Gleichheitszeichen. Dann wird zurückmultipliziert:
x^2 \cdot (x – 2) = x^3 – 2x^2Subtrahieren, mit Klammer und umgedrehten Vorzeichen:
(x^3 + 2x^2) – (x^3 – 2x^2) = 4x^2Jetzt holst du den nächsten Term herunter, das ist -5x. Übrig ist 4x^2 – 5x.
Zweiter Durchgang: 4x^2 : x = 4x. Zurückmultiplizieren ergibt 4x \cdot (x – 2) = 4x^2 – 8x. Subtrahieren:
(4x^2 – 5x) – (4x^2 – 8x) = 3xHerunterholen von -6 ergibt 3x – 6.
Dritter Durchgang: 3x : x = 3. Zurückmultiplizieren ergibt 3 \cdot (x – 2) = 3x – 6. Die Differenz ist 0, die Division geht auf. So sieht das Ganze im üblichen Schema aus:
Der Quotient ist x^2 + 4x + 3. Setzt du ihn gleich null, liefert die pq-Formel x = -2 \pm 1, also x = -1 und x = -3. Die Gleichung hat damit die Lösungen 2, -1 und -3.
Zur Probe multiplizierst du zurück:
(x – 2)(x^2 + 4x + 3) = x^3 + 4x^2 + 3x – 2x^2 – 8x – 6 = x^3 + 2x^2 – 5x – 6Das ist wieder der Dividend. Wer beim Ausmultiplizieren unsicher ist, findet bei den binomischen Formeln das Grundprinzip.
Beispiel 2: Ein Term fehlt
Aufgabe: (x^3 – 13x + 12) : (x – 1)
Zuerst die Kontrolle, ob 1 überhaupt eine Nullstelle ist: 1 – 13 + 12 = 0. Passt. Im Polynom fehlt der Term mit x^2. Damit die Spalten sauber untereinander stehen, schreibst du ihn mit dem Faktor 0 auf: x^3 + 0x^2 – 13x + 12.
Die Stelle, an der hier die meisten Fehler passieren, ist die erste Subtraktion: 0x^2 – (-x^2) = x^2. Das Minus vor der Klammer dreht das Vorzeichen um. Der Quotient x^2 + x – 12 liefert mit der pq-Formel x = 3 und x = -4. Die Nullstellen des Ausgangspolynoms sind also 1, 3 und -4.
Beispiel 3: Die erste Nullstelle selbst finden
Aufgabe: Bestimme alle Nullstellen von f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 11x + 6.
Hier ist keine Nullstelle vorgegeben. Bei ganzzahligen Koeffizienten hilft eine Regel: Eine ganzzahlige Nullstelle muss ein Teiler des Absolutglieds sein, also der Zahl ohne x. Hier ist das die 6, in Frage kommen 1, 2, 3, 6 und jeweils das Negative davon. Du probierst der Reihe nach:
f(1) = 2 – 3 – 11 + 6 = -6 f(-1) = -2 – 3 + 11 + 6 = 12 f(2) = 16 – 12 – 22 + 6 = -12 f(-2) = -16 – 12 + 22 + 6 = 0Die Nullstelle ist also x = -2. Achtung beim Vorzeichen: Der Linearfaktor dazu heißt x + 2, und durch den wird geteilt. Der Leitkoeffizient ist hier 2 statt 1, das ändert am Verfahren nichts. Im ersten Schritt rechnest du einfach 2x^3 : x = 2x^2.
Jetzt noch 2x^2 – 7x + 3 = 0 lösen. Nach dem Teilen durch 2 steht dort x^2 – 3{,}5x + 1{,}5 = 0, und die pq-Formel ergibt x = 1{,}75 \pm 1{,}25. Die beiden weiteren Nullstellen sind 3 und 0,5. Insgesamt hat die Funktion die Nullstellen -2, 0,5 und 3.
Beispiel 4: Division mit Rest
Aufgabe: (2x^3 + 3x^2 – 8x + 5) : (x – 1)
Bei der 2 am Ende kann man nicht weiterteilen, weil der Rest keinen Term mit x mehr enthält und sein Grad damit kleiner ist als der des Divisors. Das Ergebnis schreibt man so:
2x^2 + 5x – 3 + \frac{2}{x – 1}Zur Probe: (x – 1)(2x^2 + 5x – 3) + 2 = 2x^3 + 3x^2 – 8x + 3 + 2 = 2x^3 + 3x^2 – 8x + 5. Das stimmt. Ein Rest, der nicht null ist, bedeutet für die Nullstellensuche: x = 1 ist keine Nullstelle. Der Rest 2 ist übrigens genau der Funktionswert an dieser Stelle, denn 2 + 3 – 8 + 5 = 2.
Typische Fehler
Am häufigsten passieren Vorzeichenfehler beim Subtrahieren. Wer die Klammer mit dem Minus davor wegläßt, dreht nur das erste Vorzeichen um und rechnet danach mit falschen Termen weiter. Dazu kommt der vergessene Platzhalter, wenn eine Potenz im Polynom fehlt, wie in Beispiel 2. Ein dritter Klassiker ist der falsche Linearfaktor: Zur Nullstelle 3 gehört x – 3, zur Nullstelle -2 gehört x + 2. Und schließlich hören manche zu früh auf und lassen einen Term unten stehen, der noch geteilt werden müsste. Eine kurze Probe am Ende kostet eine Minute und fängt fast alle diese Fehler ab. Wer sich allgemein beim Rechnen schwertut, findet Hilfe im Artikel Ich kann kein Mathe.
Häufige Fragen zur Polynomdivision
Wie finde ich die erste Nullstelle?
Bei ganzzahligen Koeffizienten probierst du die Teiler des Absolutglieds aus, wie in Beispiel 3. Steht vor der höchsten Potenz eine Zahl ungleich 1, können auch Brüche Nullstellen sein, dann ist der Zähler ein Teiler des Absolutglieds und der Nenner ein Teiler der Zahl vor der höchsten Potenz. In Aufgaben der Schule ist die erste Nullstelle aber fast immer ganzzahlig oder schon vorgegeben.
Was bedeutet es, wenn ein Rest bleibt?
Dann war die Stelle, die du für die Nullstelle gehalten hast, keine. Beim Einsetzen in die Funktion kommt nicht null heraus, und genau dieser Wert steht als Rest da. Prüfe also vor dem Teilen kurz, ob wirklich null herauskommt.
Was mache ich, wenn ein Term im Polynom fehlt?
Du schreibst ihn mit dem Faktor 0 auf, zum Beispiel 0x^2, und rechnest ganz normal weiter. Beispiel 2 zeigt das.
Muss ich immer durch einen Linearfaktor teilen?
In der Schule ist das der Normalfall. Mathematisch lässt sich ein Polynom aber auch durch ein Polynom höheren Grades teilen, etwa durch x^2 – 1. Das Verfahren bleibt dasselbe, nur ist jeder Durchgang etwas mehr Rechenarbeit.
Gibt es einen schnelleren Weg?
Für Linearfaktoren gibt es das Horner-Schema, eine Tabelle, die dasselbe Ergebnis mit weniger Schreibarbeit liefert. Bei Gleichungen wie x^4 – 5x^2 + 4 = 0, in denen nur gerade Potenzen vorkommen, brauchst du gar keine Polynomdivision, sondern die Substitution z = x^2. Und mit dem Taschenrechner kannst du Nullstellen zur Kontrolle bestimmen. In Aufgaben ohne Hilfsmittel musst du aber von Hand rechnen können.
Warum funktioniert das überhaupt?
Wenn a eine Nullstelle eines Polynoms ist, lässt sich das Polynom als (x – a) mal ein Polynom mit kleinerem Grad schreiben. Die Polynomdivision berechnet genau dieses zweite Polynom. Wenn ein Produkt null ist, muss einer der Faktoren null sein, und deshalb liefert der Rest des Gleichungssystems die weiteren Nullstellen. Die Schreibweise der Symbole nachschlagen kannst du bei den mathematischen Symbolen.
Übungsaufgaben mit Lösungen
Rechne zuerst selbst und schau erst danach in die Lösungen.
- (x^3 – 6x^2 + 11x – 6) : (x – 1)
- (x^3 + x^2 – 10x + 8) : (x – 2)
- (x^3 – 3x^2 + 5x – 7) : (x – 2)
Lösungen:
- Quotient x^2 – 5x + 6, kein Rest. Daraus folgen die Nullstellen 1, 2 und 3.
- Quotient x^2 + 3x – 4, kein Rest. Die Nullstellen sind 2, 1 und -4.
- Quotient x^2 – x + 3, Rest -1. Geschrieben als x^2 – x + 3 – \frac{1}{x – 2}. Die Zahl 2 ist hier keine Nullstelle.
Wie man sich insgesamt auf Klassenarbeiten vorbereitet, steht im Artikel Lernen für Klassenarbeiten. Wer sich für die Abiturprüfung interessiert, findet Hinweise unter Mathe-Abitur NRW.
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