Bei Funktionen stellt sich irgendwann die Frage, welche Zahlen man für x überhaupt einsetzen darf und was dabei für y herauskommt. Die Antworten heißen Definitionsmenge und Wertemenge. Spätestens bei den Parabeln taucht das in jeder Klassenarbeit auf, und viele Schülerinnen und Schüler lassen dort Punkte liegen, die sie sich mit wenig Aufwand holen könnten. Hier gehen wir die Begriffe Schritt für Schritt durch, rechnen Beispiele und beantworten am Ende die Fragen, die zu diesem Thema am häufigsten gestellt werden.
Das Wichtigste in zwei Sätzen
Die Definitionsmenge ist die Menge aller x-Werte, die du in eine Funktion einsetzen darfst. Die Wertemenge ist die Menge aller y-Werte, die dabei tatsächlich herauskommen.
Man schreibt D für die Definitionsmenge und W für die Wertemenge, bei mehreren Funktionen mit dem Funktionsnamen als Index, zum Beispiel D_f und W_f. In Büchern und Videos findest du auch die Wörter Definitionsbereich und Wertebereich. Gemeint ist dasselbe.
Ein Beispiel zum Einstieg
Nimm die Funktion f(x) = \frac{1}{x} und setze ein paar Zahlen ein. Für x = 2 erhältst du 0{,}5, für x = -4 erhältst du -0{,}25 und für x = 0{,}1 erhältst du 10. Nur bei x = 0 bleibt die Rechnung stecken, denn durch null kann man nicht teilen. Die Definitionsmenge besteht deshalb aus allen reellen Zahlen außer der Null. Aufgeschrieben sieht das so aus:
D = \mathbb{R} \setminus {0}
Und was kommt für y heraus? Ein Bruch mit der 1 im Zähler wird nie genau null, egal welche Zahl du im Nenner wählst. Jeder andere Wert ist dagegen möglich. Also gilt:
W = \mathbb{R} \setminus {0}
Hier sind beide Mengen zufällig gleich. Das ist eher die Ausnahme.
Die Definitionsmenge bestimmen
Die Frage dahinter lautet: Gibt es Zahlen, bei denen die Funktion nicht mehr funktioniert? In der Mittelstufe stolperst du dabei fast immer über zwei Dinge. Im Nenner eines Bruchs darf keine Null herauskommen, und unter einer Wurzel darf keine negative Zahl stehen. Der Logarithmus kommt erst in der Oberstufe dazu und folgt demselben Prinzip: Du schließt aus, was nicht berechenbar ist, alles andere bleibt in der Menge.
Bei f(x) = \frac{3}{x – 2} wird der Nenner null, wenn x = 2 ist. Also ist D = \mathbb{R} \setminus {2}.
Bei g(x) = \sqrt{x – 4} darf der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ sein. Es muss also x – 4 \geq 0 gelten, und daraus folgt x \geq 4. Die Definitionsmenge ist D = [4; \infty\lbrack .
Bei h(x) = \frac{x + 1}{x^2 – 4} musst du die Gleichung x^2 – 4 = 0 lösen. Die Lösungen sind x = 2 und x = -2, beide fliegen raus: D = \mathbb{R} \setminus {-2; 2}. Wenn der Nenner komplizierter aussieht, hilft dir oft die pq-Formel beim Finden der verbotenen Stellen.
Manchmal bestimmt nicht der Term, sondern die Aufgabe die Definitionsmenge. Wenn ein Heft 1,50 € kostet und die Funktion K(x) = 1{,}5 \cdot x die Kosten für x Hefte angibt, dann gibt es nur ganze Zahlen ab 0. Zehneinhalb Hefte kann niemand kaufen. In solchen Textaufgaben lohnt sich ein kurzer Gedanke, ob die Zahlen im Sachzusammenhang überhaupt Sinn ergeben. Mehr dazu findest du in unserem Beitrag über komplexe Mathe-Aufgaben.
Die Wertemenge bestimmen
Hier fragst du dich: Welche Höhen erreicht der Graph? Am einfachsten geht das mit einer Skizze. Bei linearen Funktionen wie f(x) = 2x + 1 geht der Graph unendlich weit nach oben und nach unten, also ist W = \mathbb{R}.
Spannender wird es bei Parabeln. Die Funktion f(x) = x^2 ist nie negativ, ihr tiefster Punkt liegt bei 0. Damit ist W = [0; \infty\lbrack . Wenn die Funktion in Scheitelpunktform vorliegt, liest du die Wertemenge direkt ab:
f(x) = (x – 2)^2 + 1 hat den Scheitelpunkt S(2 \mid 1). Die Parabel öffnet nach oben, also ist W = [1; \infty\lbrack .
g(x) = -2 \cdot (x – 5)^2 + 4 hat den Scheitelpunkt S(5 \mid 4). Die Parabel öffnet nach unten, also ist W = \rbrack -\infty; 4\rbrack .
Wie du auf die Scheitelpunktform kommst und woran du die Öffnungsrichtung erkennst, steht im Beitrag zu Parabeln und quadratischen Funktionen.
Eine Merkhilfe: der Schatten des Graphen
Stell dir den Graphen als dünnen Draht vor. Leuchtest du von oben darauf, fällt sein Schatten auf die x-Achse. Dieser Schatten ist die Definitionsmenge. Leuchtest du von der Seite darauf, fällt der Schatten auf die y-Achse, und das ist die Wertemenge.
Bei der Parabel f(x) = x^2 bedeckt der Schatten auf der x-Achse die ganze Achse, auf der y-Achse aber nur den Teil ab der Null nach oben. Bei f(x) = \frac{1}{x} fehlt auf beiden Achsen genau die Null.
Mengen und Intervalle richtig aufschreiben
Für die Schreibweise gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder du gibst ein Intervall an, zum Beispiel [4; \infty\lbrack , oder du schreibst auf, welche Zahlen fehlen, zum Beispiel \mathbb{R} \setminus {0}. Das Zeichen \mathbb{R} steht für alle reellen Zahlen, das Zeichen \setminus liest du als „ohne“. Falls dir ein Symbol unbekannt ist, hilft dir unsere Übersicht der mathematischen Symbole.
Bei Intervallen zeigt die eckige Klammer zur Zahl hin, wenn die Zahl dazugehört, und von ihr weg, wenn sie nicht dazugehört. Deshalb steht bei unendlich immer eine nach außen gedrehte Klammer, denn unendlich ist keine Zahl, die man erreichen könnte.
Was in Klassenarbeiten oft schiefgeht
Am häufigsten sehe ich, dass bei einer Parabel einfach W = \mathbb{R} hingeschrieben wird. Wer eine Skizze macht, merkt sofort, dass der Graph nur auf einer Seite des Scheitelpunkts liegt. Der zweite Klassiker ist die vergessene Definitionsmenge bei Brüchen: Die Aufgabe wird sauber gelöst, aber niemand hat geprüft, ob die Lösung überhaupt eingesetzt werden darf.
Für Prüfungen wie die ZP 10 lohnt sich beides als kurze Routine. Welche Themen dort sonst noch dran sind, steht in der Übersicht zu den ZP-10-Mathe-Themen, und die Checkliste für den MSA-E-Kurs hilft beim Abhaken. Fürs Nachschlagen gibt es außerdem die Formelsammlung zur ZP 10 Mathe.
Für Eltern
Wenn Ihr Kind bei diesem Thema hängt, hilft es selten, eine Regel vorzusagen. Besser ist die Frage, was passiert, wenn man bei \frac{1}{x} die Null einsetzt, und dann die Antwort selbst erklären zu lassen. Wer ein Beispiel mit eigenen Worten erklären kann, hat den Begriff verstanden. Wenn die Grundlagen insgesamt wackeln, finden Sie Ideen im Beitrag Ich kann kein Mathe: So lernst du es trotzdem. Auch der Text zum Lernen für Klassenarbeiten kann für ein Gespräch zu Hause eine gute Grundlage sein.
Häufige Fragen zu Definitionsmenge und Wertemenge
Was ist der Unterschied zwischen Definitionsmenge und Wertemenge?
Die Definitionsmenge gehört zu x, die Wertemenge zu y. Erst setzt du ein, dann kommt etwas heraus. Bei f(x) = x^2 darfst du jede reelle Zahl einsetzen, es kommen aber nur Zahlen ab 0 heraus.
Wie bestimme ich die Definitionsmenge?
Such nach Stellen, an denen die Rechnung nicht möglich ist: ein Nenner, der null wird, oder eine Wurzel mit negativem Inhalt. Diese Zahlen schließt du aus, alle anderen bleiben drin. Gibt es weder Bruch noch Wurzel, ist D = \mathbb{R}.
Wie bestimme ich die Wertemenge?
Am leichtesten am Graphen: Wie tief und wie hoch kommt er? Bei Parabeln gibt der Scheitelpunkt die Grenze an. Ohne Graph überlegst du, welche Werte der Term überhaupt annehmen kann, bei x^2 zum Beispiel nie etwas Negatives.
Ist die Wertemenge der y-Wert?
Nein. Ein y-Wert ist eine einzelne Zahl, die Wertemenge sammelt alle möglichen y-Werte. Setzt du bei f(x) = 3x die Zahl 2 ein, kommt y = 6 heraus. Die 6 gehört zur Wertemenge, die Wertemenge selbst ist aber ganz \mathbb{R}.
Was ist der Unterschied zwischen Wertemenge und Zielmenge?
Die Zielmenge legt fest, in welchem Zahlenbereich die Ergebnisse liegen dürfen, meist \mathbb{R}. Die Wertemenge ist der Teil davon, der tatsächlich getroffen wird. Bei f(x) = x^2 ist die Zielmenge \mathbb{R} und die Wertemenge [0; \infty\lbrack . In der Schule wird meist nur nach der Wertemenge gefragt.
Warum darf man nicht durch null teilen?
Es gilt 6 : 2 = 3, weil 3 \cdot 2 = 6 ist. Bei 6 : 0 müsstest du eine Zahl finden, die mit 0 multipliziert 6 ergibt. So eine Zahl gibt es nicht. Deshalb ist die Null im Nenner verboten.
Muss ich die Definitionsmenge immer angeben?
Wenn in der Aufgabe nichts anderes steht, gilt \mathbb{R} als Grundmenge. Du musst aber die Zahlen herausnehmen, die nicht funktionieren. Bei Brüchen und Wurzeln lohnt sich der Check also immer, auch wenn die Aufgabe nicht ausdrücklich danach fragt.
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Wer Mathe lieber mit System lernt, findet in Mathe lernen ist wie Kochen mit Rezept einen guten Einstieg. Für die Oberstufe lohnt sich der Blick auf die Inhalte der zentralen Klausur Mathematik am Ende der EF, denn dort werden Funktionen noch einmal ausführlich wiederholt. Und wer sich auf die Prüfung im nächsten Jahr vorbereitet, schaut in den Überblick zur ZP 10 Mathe 2027.
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