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Die pq-Formel gehört zu den Werkzeugen, die in der Mittelstufe viele Klassenarbeiten begleiten. Wer sie sicher anwendet, löst quadratische Gleichungen in wenigen Zeilen. Dieser Artikel zeigt dir Schritt für Schritt, wie das funktioniert, an welchen Stellen die meisten Fehler passieren und wie du dein Ergebnis in jedem Fall selbst überprüfen kannst. Auch Eltern, die beim Lernen helfen möchten, finden hier alles, was sie zum Nachvollziehen brauchen.

Was ist die pq-Formel?

Mit der pq-Formel berechnest du die Lösungen einer quadratischen Gleichung, die in der sogenannten Normalform vorliegt: x^2 + px + q = 0

Vor dem x² steht also keine Zahl (genauer gesagt: eine 1). Die Buchstaben p und q stehen für die Zahlen vor dem x und für die Zahl ohne x. Die Lösungsformel lautet: x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}

Das Zeichen ± bedeutet, dass du zweimal rechnest: einmal mit Plus und einmal mit Minus. So erhältst du die beiden Lösungen x₁ und x₂.

Die pq-Formel Schritt für Schritt anwenden

1. Bringe die Gleichung auf die Form x^2 + px + q = 0. Alles steht auf der linken Seite, rechts steht die Null.
2. Lies p und q mit ihrem Vorzeichen ab.
3. Berechne den Term unter der Wurzel. Er heißt Diskriminante.
4. Setze alles in die Formel ein und berechne x₁ und x₂.
5. Mache die Probe, indem du die Ergebnisse in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

Beispiel 1: Zwei Lösungen

Gesucht sind die Lösungen von x^2 + 6x + 5 = 0. Die Gleichung hat bereits Normalform, also gilt p = 6 und q = 5.x_{1,2} = -\frac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2 – 5} = -3 \pm \sqrt{9 – 5} = -3 \pm 2

Daraus folgen x_1 = -1 und x_2 = -5.

Probe für x₁: (-1)^2 + 6 \cdot (-1) + 5 = 1 – 6 + 5 = 0. Das stimmt. Für x₂ gilt (-5)^2 + 6 \cdot (-5) + 5 = 25 – 30 + 5 = 0, das stimmt ebenfalls.

Beispiel 2: Erst in die Normalform umformen

Oft sieht die Aufgabe zunächst anders aus, zum Beispiel x^2 = 7x + 8. Du subtrahierst 7x und 8 auf beiden Seiten:x^2 – 7x – 8 = 0

Jetzt gilt p = −7 und q = −8. Achte darauf, dass die Vorzeichen zu den Zahlen gehören:x_{1,2} = \frac{7}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-7}{2}\right)^2 + 8} = 3{,}5 \pm \sqrt{12{,}25 + 8} = 3{,}5 \pm \sqrt{20{,}25} = 3{,}5 \pm 4{,}5

Die Lösungen sind x_1 = 8 und x_2 = -1.

Beispiel 3: Vor dem x² steht eine andere Zahl als 1

Bei 2x^2 – 8x – 24 = 0 teilst du die ganze Gleichung durch 2, damit die Normalform entsteht:x^2 – 4x – 12 = 0

Mit p = −4 und q = −12 erhältst du:x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 12} = 2 \pm 4

Die Lösungen sind x_1 = 6 und x_2 = -2.

Die Diskriminante: Wie viele Lösungen gibt es?

Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante. Das Wort kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „unterscheiden“. Mit ihr erkennst du schon vor dem Weiterrechnen, wie viele Lösungen zu erwarten sind:D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 – q

• D > 0: Es gibt zwei Lösungen.
• D = 0: Es gibt genau eine Lösung.
• D < 0: Es gibt keine Lösung in den reellen Zahlen, die Lösungsmenge ist leer.

Ein Beispiel für genau eine Lösung ist x^2 + 10x + 25 = 0. Hier ist D = 5^2 – 25 = 0, also x = -5. Bei x^2 + 2x + 5 = 0 ergibt sich D = 1 – 5 = -4. Aus einer negativen Zahl lässt sich keine Wurzel ziehen, deshalb schreibst du L = \{\ \}.

In der Wertetabelle einer Parabel siehst du dasselbe: Hat die Parabel zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, ist D positiv. Berührt sie die Achse nur, ist D gleich null. Verläuft sie komplett darüber oder darunter, ist D negativ. Mehr dazu findest du im Artikel Parabeln und quadratische Funktionen.

Woher kommt die pq-Formel?

Die Formel ist keine Zauberei, sondern das Ergebnis der quadratischen Ergänzung. Sie nutzt die binomischen Formeln. Ausgehend von x^2 + px + q = 0 bringst du zuerst q auf die andere Seite:x^2 + px = -q

Dann addierst du auf beiden Seiten \left(\frac{p}{2}\right)^2. Die linke Seite lässt sich dadurch mit der ersten binomischen Formel zusammenfassen:\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 – q

Jetzt ziehst du auf beiden Seiten die Wurzel und löst nach x auf. Dabei entsteht das ±, weil sowohl die positive als auch die negative Wurzel die Gleichung erfüllen:x = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}

Häufige Fragen von Schülerinnen und Schülern

Wann nehme ich die pq-Formel und wann die abc-Formel?

Die pq-Formel setzt die Normalform voraus, also eine 1 vor dem x². Bei der abc-Formel (auch Mitternachtsformel genannt) darf vor dem x² eine beliebige Zahl stehen, aber nicht null. Sie lautet:x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

Beide Formeln führen zum gleichen Ergebnis. Viele finden die pq-Formel übersichtlicher, weil die Zahlen kleiner bleiben. Normalerweise lernen Schüler nur eine der beiden Formen (und das ist meistens die pq-Formel). Wenn dein Lehrer oder deine Lehrerin nichts anderes verlangt, darfst du dir die Formel aussuchen, die dir besser liegt.

Was mache ich, wenn vor dem x² eine Zahl steht?

Teile die gesamte Gleichung durch diese Zahl, wie in Beispiel 3. Wichtig ist, dass du wirklich jeden Summanden teilst, auch die Zahl hinter dem Gleichheitszeichen.

Was ist p, wenn keine Zahl vor dem x steht?

Bei x^2 + x – 6 = 0 steht vor dem x eine unsichtbare 1. Es gilt also p = 1. Fehlt das x-Glied ganz, zum Beispiel bei x^2 – 9 = 0, ist p = 0. Für diesen Fall brauchst du die Formel nicht unbedingt: Du rechnest x^2 = 9 und erhältst x = \pm 3.

Wie gehe ich vor, wenn q gleich null ist?

Dann kannst du x ausklammern. Bei x^2 + 5x = 0 wird daraus x \cdot (x + 5) = 0. Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist. Die Lösungen sind also x_1 = 0 und x_2 = -5. Die pq-Formel liefert dasselbe Ergebnis, ist hier aber der längere Weg.

Was bedeutet es, wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht?

Dann hat die Gleichung keine reelle Lösung. Das ist kein Rechenfehler, sondern ein gültiges Ergebnis. Du schreibst die leere Lösungsmenge auf. Rechne vorher aber noch einmal nach, ob du die Vorzeichen von p und q richtig übernommen hast.

Warum steht vor der Wurzel ein Minus bei −p/2?

Das Minus gehört zur Formel und ist nicht das Vorzeichen von p. Ist p = −7, rechnest du -\frac{-7}{2} = +3{,}5. Genau hier passieren die meisten Flüchtigkeitsfehler. Schreibe p und q deshalb vor dem Einsetzen mit Vorzeichen auf.

Was ist der Satz von Vieta und wann hilft er?

Für die Lösungen x₁ und x₂ einer Gleichung in Normalform gilt:x_1 + x_2 = -p \qquad \text{und} \qquad x_1 \cdot x_2 = q

Bei x^2 + 6x + 5 = 0 suchst du zwei Zahlen mit dem Produkt 5 und der Summe −6. Das sind −1 und −5. Bei ganzzahligen Lösungen kommst du so oft schneller ans Ziel, außerdem eignet sich der Satz hervorragend zur Kontrolle.

In welcher Klasse lernt man die pq-Formel?

In der Regel behandelt der Unterricht quadratische Gleichungen in Klasse 9 oder 10, je nach Schulform und Lehrplan. Spätestens für die Abschlussprüfung nach Klasse 10 solltest du sie sicher beherrschen. Einen Überblick über die Prüfungsthemen findest du bei den Infos zur ZP 10 Mathe 2027 und in der Formelsammlung zur ZP 10 Mathe.

Typische Fehler und wie du sie vermeidest

• Vorzeichen von p und q werden oft falsch übernommen. Schreibe beide mit Vorzeichen auf, bevor du einsetzt.
• Die Gleichung muss vor dem Ablesen die Form … = 0 haben, sonst stimmen p und q nicht.
• Bei a ≠ 1 wird jeder Summand durch a geteilt, auch die Zahl ohne x.
• In der Formel steht p/2, nicht p. Das Halbieren geht gern unter.
• Ohne Probe fallen Fehler erst in der Klassenarbeit auf. Zwei Minuten Kontrolle ersparen oft mehrere verlorene Punkte.

So übst du die pq-Formel sinnvoll

Zum Üben genügen zunächst fünf bis zehn Aufgaben, die du ohne Hilfsmittel durchrechnest. Beginne mit Beispielen, bei denen die Diskriminante eine Quadratzahl ergibt, damit du dich auf die Methode konzentrieren kannst. Danach kommen Aufgaben mit Umformen und mit negativen Vorzeichen. Wenn du merkst, dass du bei Mathe grundsätzlich unsicher bist, hilft dir der Beitrag Ich kann kein Mathe: So lernst du es trotzdem. Wie du das Üben für Arbeiten gut organisierst, steht in Lernen für Klassenarbeiten. Und wenn du erst einmal ein Gefühl für feste Abläufe bekommen möchtest, passt Mathe lernen ist wie Kochen mit Rezept gut dazu.

Später tauchen quadratische Gleichungen auch in Textaufgaben auf, etwa bei Flächen oder Wurfbahnen. Wie du dabei strukturiert vorgehst, erklärt der Artikel Mathe-Textaufgaben in 6 Schritten. Mehr zu Aufgaben, bei denen du Gelerntes auf neue Situationen übertragen musst, findest du unter Transferaufgaben in Mathe. Wer in der Oberstufe weitermacht, trifft die Methode in der ZKE Mathematik und im Mathe-Abitur in NRW wieder. Falls du Schreibweisen wie ±, √ oder L nachschlagen möchtest, hilft die Übersicht der mathematischen Symbole.

Hinweis für Eltern

Sie müssen die Rechnungen nicht selbst beherrschen, um Ihr Kind zu unterstützen. Lassen Sie sich die Schritte erklären: Normalform, p und q ablesen, einsetzen, Probe. Wer einen Rechenweg in eigenen Worten erklären kann, hat ihn meist verstanden. Wenn die Lücken größer sind, kann gezielte Hilfe sinnvoll sein. Tipps zur Suche finden Sie im Artikel Nachhilfe: So findest du einen guten Lehrer.

Kurz zusammengefasst

• Die pq-Formel löst quadratische Gleichungen der Form x^2 + px + q = 0.
• Sie lautet x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}.
• Die Diskriminante verrät, ob es zwei, eine oder keine Lösung gibt.
• Steht vor dem x² eine andere Zahl als 1, teilst du die Gleichung vorher durch diese Zahl oder nutzt die abc-Formel.
• Mit der Probe oder dem Satz von Vieta kontrollierst du dein Ergebnis selbst.