Geometrische Körper sind Idealformen. In der Natur kommen sie kaum exakt vor, aber manchmal ganz nah dran: Basaltsäulen und die Zellen einer Bienenwabe sind sechsseitige Prismen. In der Schule geht es zuerst darum, die Körper zu benennen und ihre Teile auseinanderzuhalten, danach darum, Volumen und Oberfläche auszurechnen. Dieser Artikel macht beides.
Was sind geometrische Körper?
Ein Körper ist eine dreidimensionale Figur. Man braucht drei Angaben, um ihn zu beschreiben: Länge, Breite und Höhe. Bei Körpern mit runder Grundfläche, also Zylinder, Kegel und Kugel, nimmt man stattdessen den Radius oder den Durchmesser. Körper, die nur aus ebenen Flächen bestehen, heißen Vielflächner. Würfel, Quader, Prismen und Pyramiden gehören dazu. Zylinder, Kegel und Kugel haben gekrümmte Flächen.
Ecken, Kanten und Flächen unterscheiden
Diese drei Begriffe werden in Arbeiten gern verwechselt, dabei lassen sie sich leicht trennen. Stell dir einen Würfel in der Hand vor. Mit der Fingerspitze zeigst du auf eine Ecke. Mit dem Finger fährst du an einer Kante entlang. Mit der flachen Hand streichst du über eine Fläche.
| Begriff | Was ist das? | Beim Würfel | Wie misst du es? |
|---|---|---|---|
| Ecke | Ein Punkt, an dem mehrere Kanten zusammenlaufen | 8 | Eine Ecke hat keine Ausdehnung, du kannst sie nur zählen |
| Kante | Eine Linie, an der zwei Flächen aneinanderstoßen | 12 | Als Länge, zum Beispiel in cm |
| Fläche | Ein Stück der Oberfläche, eben oder gekrümmt | 6 | Als Flächeninhalt, zum Beispiel in cm² |
Beim Würfel treffen sich an jeder Ecke drei Kanten und drei Flächen. Bei einer Pyramide ist das anders: An der Spitze laufen vier Kanten zusammen, wenn die Grundfläche ein Quadrat ist.
Dazu kommen ein paar Fachwörter für die Lage der Flächen. Die Grundfläche liegt unten, die Deckfläche gegenüber oben. Alle Seitenflächen zusammen heißen Mantelfläche. Bei Pyramide und Kegel gibt es keine Deckfläche, sondern eine Spitze, also eine Ecke, die der Grundfläche gegenüberliegt.
Geometrische Körper Liste: Ecken, Kanten und Flächen zählen
| Körper | Ecken | Kanten | Flächen |
|---|---|---|---|
| Würfel | 8 | 12 | 6 |
| Quader | 8 | 12 | 6 |
| Dreiecksprisma | 6 | 9 | 5 |
| Sechsseitiges Prisma | 12 | 18 | 8 |
| Zylinder | 0 | 2 | 3 |
| Quadratische Pyramide | 5 | 8 | 5 |
| Kegel | 1 | 1 | 2 |
| Kugel | 0 | 0 | 1 |
Bei Zylinder und Kegel zählen in dieser Tabelle die Kreislinien am Rand als Kanten. Die gekrümmte Mantelfläche zählt als eine Fläche.
Für Körper, die nur aus ebenen Flächen bestehen, gibt es eine Probe. Rechnest du Ecken minus Kanten plus Flächen, kommt immer 2 heraus. Das ist der Eulersche Polyedersatz: E – K + F = 2. Beim Würfel ist 8 – 12 + 6 = 2, beim Dreiecksprisma 6 – 9 + 5 = 2 und bei der quadratischen Pyramide 5 – 8 + 5 = 2. Stimmt dein Ergebnis nicht, hast du dich beim Zählen verzählt. Bei Zylinder, Kegel und Kugel gilt die Probe nicht.
Zeichnen und Berechnen von geometrischen Körpern
Viele Schülerinnen und Schüler tun sich schwer damit, Körper zu zeichnen und ihr Volumen und ihre Oberfläche zu bestimmen. Wie du Schrägbilder sauber zeichnest, steht in Geometrische Körper: Schrägbilder zeichnen. Die Berechnung kommt jetzt, mit einem Bild und einem Zahlenbeispiel zu jedem Körper.
Volumen, Oberfläche und Umfang: Was ist was?
Das Volumen sagt, wie viel Raum ein Körper ausfüllt. Man misst es in Kubikeinheiten, zum Beispiel in cm³ oder m³. Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen, die den Körper von außen begrenzen. Sie wird in Quadrateinheiten gemessen, also in cm² oder m².
Einen Umfang haben nur ebene Figuren wie Rechtecke oder Kreise. Bei einem Körper gibt es keinen Umfang. Trotzdem taucht das Wort in Aufgaben auf, und meistens ist dann der Umfang der Grundfläche gemeint. Den brauchst du tatsächlich, wenn du die Mantelfläche von einem Prisma oder Zylinder berechnest. Sie ist nämlich nichts anderes als ein Rechteck, das so lang ist wie der Umfang der Grundfläche und so hoch wie der Körper. Wer wissen will, wie man Flächen und Umfänge von ebenen Figuren bestimmt, findet das bei zusammengesetzten Figuren und bei regelmäßigen Vielecken.
Manchmal ist auch die Summe aller Kantenlängen gefragt, etwa wenn man ein Drahtmodell bauen will. Beim Würfel sind das zwölf gleich lange Kanten, also 12a. Beim Quader kommen je vier Kanten der Länge a, b und c vor, die Summe ist 4(a+b+c).
Die Mantelfläche ist die Oberfläche ohne Grund- und Deckfläche. Bei einer Konservendose wäre das nur das Etikett. Die Oberfläche der Dose ist Etikett, Boden und Deckel zusammen.
Alle Formeln auf einen Blick
| Körper | Volumen | Oberfläche |
|---|---|---|
| Würfel | V = a^3 | O = 6a^2 |
| Quader | V = a \cdot b \cdot c | O = 2(ab+ac+bc) |
| Prisma | V = G \cdot h | O = 2G + M mit M = U \cdot h |
| Zylinder | V = \pi r^2 h | O = 2\pi r (r+h) |
| Pyramide | V = \tfrac{1}{3} G \cdot h | O = G + M |
| Kegel | V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h | O = \pi r (r+s) |
| Kugel | V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 | O = 4\pi r^2 |
G ist die Grundfläche, U ihr Umfang, M die Mantelfläche, h die Höhe des Körpers, r der Radius und s die Mantellinie beim Kegel. Wie sie an den Körpern liegen, zeigen die Bilder weiter unten.
Würfel
Beim Würfel sind alle Kanten gleich lang. Das Volumen ist Länge mal Breite mal Höhe, also a \cdot a \cdot a = a^3. Die Oberfläche besteht aus sechs gleich großen Quadraten.
Beispiel mit a = 4 cm: V = 4^3 = 64\ \text{cm}^3 und O = 6 \cdot 4^2 = 96\ \text{cm}^2.
Quader
Der Quader hat drei verschiedene Kantenlängen. Das Volumen ist V = a \cdot b \cdot c. Für die Oberfläche brauchst du drei Paare gegenüberliegender Rechtecke, jedes Paar kommt doppelt vor.
Beispiel mit a = 5 cm, b = 3 cm und c = 4 cm: V = 5 \cdot 3 \cdot 4 = 60\ \text{cm}^3 und O = 2 \cdot (15 + 20 + 12) = 94\ \text{cm}^2.
Prisma
Ein Prisma hat zwei gleiche Vielecke als Grund- und Deckfläche, die durch Rechtecke verbunden sind. In der Zeichnung ist h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize D} die Höhe des Dreiecks und h die Höhe des Prismas. Das Volumen ist immer Grundfläche mal Höhe. Welche Form die Grundfläche hat, ist dabei egal. Für die Oberfläche addierst du zweimal die Grundfläche und die Mantelfläche, und die Mantelfläche ist Umfang der Grundfläche mal Höhe des Prismas.
Beispiel mit einem Dreiecksprisma: Das Dreieck hat die Grundseite 6 cm, die Höhe 4 cm und zwei gleich lange Seiten von 5 cm. Das Prisma ist 10 cm hoch. Die Grundfläche ist G = \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\ \text{cm}^2, also V = 12 \cdot 10 = 120\ \text{cm}^3. Der Umfang des Dreiecks ist U = 6 + 5 + 5 = 16\ \text{cm}, die Mantelfläche M = 16 \cdot 10 = 160\ \text{cm}^2 und die Oberfläche O = 2 \cdot 12 + 160 = 184\ \text{cm}^2.
Zylinder
Der Zylinder ist ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche. Deshalb gilt wieder Grundfläche mal Höhe: V = \pi r^2 \cdot h. Rollt man die Mantelfläche ab, bekommt man ein Rechteck. Seine eine Seite ist der Umfang des Kreises, 2\pi r, die andere ist die Höhe. Damit ist M = 2\pi r h, und die Oberfläche ist O = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r + h).
Beispiel mit r = 3 cm und h = 10 cm: V = \pi \cdot 9 \cdot 10 = 90\pi \approx 282{,}74\ \text{cm}^3. Die Mantelfläche ist M = 2\pi \cdot 3 \cdot 10 = 60\pi \approx 188{,}50\ \text{cm}^2, die Oberfläche O = 2\pi \cdot 3 \cdot 13 = 78\pi \approx 245{,}04\ \text{cm}^2.
Pyramide
Bei der Pyramide gibt es zwei verschiedene Höhen. Die Körperhöhe h geht senkrecht von der Spitze auf die Grundfläche. Die Seitenhöhe h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize s} läuft in der Mitte einer Seitenfläche von der Spitze nach unten. Fürs Volumen brauchst du h, für die Mantelfläche h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize s}. Das Volumen ist ein Drittel von Grundfläche mal Höhe.
Bei einer quadratischen Pyramide besteht die Mantelfläche aus vier gleichen Dreiecken mit der Grundseite a und der Höhe h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize s}, also M = 4 \cdot \tfrac{1}{2} a h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize s} = 2 a h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize s}. Ist nur h gegeben, bekommst du h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize s} mit dem Satz des Pythagoras: h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize s} = \sqrt{h^2 + (a/2)^2}.
Beispiel mit a = 6 cm und h = 4 cm: h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize s} = \sqrt{16 + 9} = 5\ \text{cm}. Das Volumen ist V = \tfrac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 48\ \text{cm}^3, die Mantelfläche M = 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60\ \text{cm}^2 und die Oberfläche O = 36 + 60 = 96\ \text{cm}^2.
Kegel
Auch beim Kegel gibt es eine Höhe und eine schräge Linie: Die Höhe h steht senkrecht, die Mantellinie s läuft am Rand von der Spitze zum Kreis. Zusammen mit dem Radius bilden sie ein rechtwinkliges Dreieck, also gilt s = \sqrt{r^2 + h^2}. Das Volumen ist wie bei der Pyramide ein Drittel von Grundfläche mal Höhe: V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h. Für die Mantelfläche gilt M = \pi r s, und die Oberfläche ist O = \pi r^2 + \pi r s = \pi r (r + s).
Beispiel mit r = 3 cm und h = 4 cm: s = \sqrt{9 + 16} = 5\ \text{cm}. Das Volumen ist V = \tfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi \approx 37{,}70\ \text{cm}^3, die Mantelfläche M = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi \approx 47{,}12\ \text{cm}^2 und die Oberfläche O = \pi \cdot 3 \cdot 8 = 24\pi \approx 75{,}40\ \text{cm}^2.
Kugel
Die Kugel hat nur eine einzige Größe, den Radius. Dafür sind die Formeln die einzigen, die man sich nicht aus Grundfläche mal Höhe herleiten kann: V = \tfrac{4}{3}\pi r^3 und O = 4\pi r^2. Die Oberfläche ist vier Mal so groß wie die Fläche des größten Kreises, der in die Kugel passt.
Beispiel mit r = 3 cm: V = \tfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}10\ \text{cm}^3 und O = 4 \cdot \pi \cdot 9 = 36\pi \approx 113{,}10\ \text{cm}^2. Die Zahlenwerte sind bei r = 3 gleich, die Einheiten aber nicht. Das ist ein Zufall dieses Radius und kein Gesetz.
Häufige Fragen von Schülerinnen und Schülern
Warum steht bei Pyramide und Kegel ein Drittel in der Formel?
Eine Pyramide füllt genau ein Drittel des Prismas, das dieselbe Grundfläche und dieselbe Höhe hat. Beim Kegel ist es genauso, verglichen mit dem Zylinder. Wer es nicht glauben will, kann es mit Sand oder Wasser ausprobieren: Ein Kegel und ein Zylinder mit gleichem Radius und gleicher Höhe, und man muss den Kegel dreimal füllen, bis der Zylinder voll ist. Wer das Drittel vergisst, rechnet ein Ergebnis aus, das dreimal zu groß ist.
Welche Höhe nehme ich bei Pyramide und Kegel?
Fürs Volumen immer die senkrechte Höhe h. Für die Mantelfläche brauchst du bei der Pyramide die Seitenhöhe h\raisebox{-0.35em}{\scriptsize s} und beim Kegel die Mantellinie s. Wenn in der Aufgabe nur h steht, rechnest du die schräge Länge mit dem Satz des Pythagoras aus, wie in den Beispielen oben.
Was ist der Unterschied zwischen Mantelfläche und Oberfläche?
Die Mantelfläche ist nur die Seitenwand, die Oberfläche enthält zusätzlich Grund- und Deckfläche. Beim Zylinder und beim Prisma gibt es zwei davon, bei Pyramide und Kegel nur eine, bei der Kugel gibt es keine Mantelfläche im engeren Sinn. Achte in Aufgaben auf den Wortlaut: Ein oben offener Eimer hat eine Grundfläche weniger als ein geschlossener Behälter.
Warum cm³ und cm²?
Das Volumen entsteht, indem man drei Längen multipliziert, und aus cm · cm · cm wird cm³. Bei Flächen sind es zwei Längen, daher cm². Rechnest du in verschiedenen Einheiten, wandle zuerst alles in dieselbe Einheit um. Eine nützliche Umrechnung: 1 dm³ entspricht genau 1 Liter, und 1 m³ sind 1000 Liter.
Gibt es den Umfang bei Körpern?
Nein, den Umfang gibt es nur bei ebenen Figuren. Gemeint ist in Aufgaben meistens der Umfang der Grundfläche oder die Summe aller Kanten. Lies den Text genau, und wenn nichts anderes dasteht, frag dich, ob die Oberfläche gemeint sein könnte.
Soll ich π ausrechnen oder stehen lassen?
Stehen lassen kann man π, solange man weiterrechnet, weil das Ergebnis dann exakt bleibt. Am Ende gibst du einen gerundeten Wert an. Auf wie viele Stellen, steht in der Aufgabe oder wurde im Unterricht festgelegt.
Typische Fehler in der Arbeit
Der häufigste Fehler ist, die falsche Höhe zu nehmen: die Mantellinie im Volumen oder die Körperhöhe in der Mantelfläche. Danach kommt das vergessene Drittel. Dann gibt es noch Einheiten, die mitten in der Rechnung wechseln, und Oberflächen, bei denen eine Grundfläche fehlt oder doppelt gezählt wird. Wenn du nach dem Rechnen kurz prüfst, ob die Größenordnung stimmt, findest du solche Fehler meist selbst. Ein Würfel mit 4 cm Kantenlänge, der angeblich 640 cm³ fasst, kann nicht stimmen.
Textaufgaben zu Körpern lassen sich gut in Schritten lösen. Eine Anleitung dazu gibt es in Mathe-Textaufgaben in 6 Schritten und für die Abschlussprüfung in ZP 10 Mathe: komplexe Textaufgabe in 7 Schritten. Die Formeln zum Nachschlagen findest du in der Formelsammlung für die ZP 10 Mathe, und welche Themen in der Prüfung drankommen, steht in ZP 10 Mathe: Themen. Wenn dir Mathe grundsätzlich schwerfällt, hilft dir vielleicht Ich kann kein Mathe: So lernst du es trotzdem.
Tipps für Eltern
Zu Hause lässt sich das Thema gut mit Alltagsgegenständen üben. Eine Konservendose ist ein Zylinder, ein Spielwürfel ein Würfel, ein Schuhkarton ein Quader, ein Trichter ähnelt einem Kegel. Das Kind misst nach, rechnet Volumen und Oberfläche aus und vergleicht das Ergebnis mit der Angabe auf der Verpackung. Bei der Dose steht der Inhalt meist in Millilitern drauf, und 1 ml entspricht 1 cm³. Dann sieht man sofort, ob man richtig gerechnet hat.
Geometrische Körper
Eigenschaften, Volumen und Oberfläche geometrischer Körper
Interaktives 3D Körper-Konstruktions-Tool
Lernplan Geometrische Körper
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